Фостер Моро родился 6 мая 1997 года в Новом Орлеане. Кроме него, в семье Триши и Лайла Моро было ещё три дочери. Учился в католической школе ордена Иезуитов. Моро завершил карьеру в школьной футбольной команде, набрав 1210 ярдов с 15 тачдаунами. В 2014 году вместе с командой он выиграл чемпионат штата. Также он был стартовым центровым школьной баскетбольной команды[1].
После окончания школы поступил в Университет штата Луизиана. За команду колледжа Моро начал играть с первого года обучения, чаще выходя на поле при возврате пантов и начальных ударов. В составе нападения «Тайгерс» он стал выходить на поле в 2016 году. На третий сезон, в 2017 году, он стал основным тайт-эндом команды, сыграв во всех тринадцати матчах и став четвёртым по набранным на приёме ярдам. В матче за Ситрус Боул против «Нотр-Дама» Моро набрал 64 ярда. В заключительный год он получил от тренеров команды №18, имеющий особое значение в университете, и принял участие в тринадцати играх. После завершения сезона его пригласили сыграть на Матче всех звёзд выпускников колледжей. Всего за карьеру в NCAA Моро сыграл 49 матчей, из них 32 в стартовом составе. Университет он окончил в декабре 2018 года[1].
Перед драфтом НФЛ 2019 года эксперты отмечали хорошую работу Моро на маршрутах, хотя в университете тренеры чаще использовали его в роли блокирующего игрока. К числу слабостей тайт-энда относили недостаток мышечной массы и не всегда правильное принятие решений после приёма мяча. На драфте он был выбран клубом «Окленд Рэйдерс» в четвёртом раунде под общим 137 номером[2].
Контракт с командой Моро подписал 2 мая 2019 года. Сумма четырёхлетнего соглашения составила 3 млн долларов. Генеральный менеджер «Окленда» Майк Мейок, комментируя сделку, сообщил, что клуб доволен новичком и в первую очередь планирует задействовать его в роли блокирующего тайт-энда[3]. В НФЛ он дебютировал на первой игровой неделе сезона 2019 в матче с «Денвер Бронкос»[4]. По ходу чемпионата он заработал место второго тайт-энда команды после Даррена Уоллера. В тринадцати сыгранных матчах Моро сделал 21 приём, не допустив ни одной ошибки при ловле. По оценкам издания Pro Football Focus он стал вторым среди новичков лиги в своём амплуа[5]. В 2020 году Моро был ключевым блокирующим тайт-эндом в составе Рэйдерс, сыграв в шестнадцати матчах и сделав семь приёмов на 140 ярдов[6].
Такую же роль в нападении команды Моро играл в 2021 году. Он выходил на поле в семнадцати играх регулярного чемпионата, сделав 30 приёмов на 373 ярда с тремя тачдаунами[7]. В сезоне 2022 года он стал более заметной фигурой в пасовой игре, установив личные рекорды по количеству приёмов и набранных ярдов. Несмотря на прогресс, клуб не стал предлагать игроку новый контракт и он получил статус свободного агента. В марте 2023 года, когда Моро проходил медицинский осмотр в «Нью-Орлеан Сэйнтс», ему была диагностирована лимфома Ходжкина. После этого он объявил о приостановке спортивной карьеры[8].