Ме́тод обра́тного преобразова́ния (Преобразование Н. В. Смирнова) — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.

Пусть ${\displaystyle F(x)}$ является функцией произвольного распределения. Покажем, как, имея генератор выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, получить выборку из распределения, задаваемого функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$.

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ строго возрастает на всей области определения, то она биективна, а следовательно имеет обратную функцию ${\displaystyle F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R} }$.

• Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, где ${\displaystyle X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$, — выборка из интересующего нас распределения.

Пусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром ${\displaystyle \lambda >0}$. Функция этого распределения ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}}$ строго возрастает, и её обратная функция имеет вид ${\displaystyle F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)}$. Таким образом, если ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, где

${\displaystyle X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$

— искомая выборка из экспоненциального распределения.

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм.

• Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, где ${\displaystyle X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i=1,\ldots ,n}$, — выборка из интересующего нас распределения. Равенство точной нижней грани минимуму выполняется ввиду непрерывности функции распределения справа, что означает, что точная нижняя грань достигается.

• Если ${\displaystyle F(x)}$ строго возрастает, то ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\}}$. Таким образом, модифицированный алгоритм для произвольной функции распределения включает в себя отдельно разобранный случай строго возрастающей функции распределения.
• Несмотря на кажущуюся универсальность, данный алгоритм имеет серьёзные практические ограничения. Даже если функция распределения строго возрастает, вычислить её обратную не всегда просто, особенно если она не задана в виде элементарной функции, как, например, в случае нормального распределения. В случае функции распределения общего вида чаще всего необходимо численно находить точную нижнюю грань, что может быть очень трудоёмко.

Пусть ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$, то есть ${\displaystyle F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]}$. Рассмотрим функцию распределения случайной величины ${\displaystyle X=\inf\{x\mid F(x)=U\}}$.

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U\leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)}$.

То есть ${\displaystyle X}$ имеет функцию распределения ${\displaystyle F(x)}$.

• Преобразование Бокса — Мюллера
• Алгоритм Зиккурат

Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. - СПб.: Наука, 2001, 295 с.