При рассматривании издалека

Угол, под которым объект размером l виден с расстояния наилучшего зрения, равен:

${\displaystyle \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha ={l \over d}}$

Максимальное увеличение достигается тогда, когда мнимое изображение объекта уходит в бесконечность. При этом объект наблюдается под углом:

${\displaystyle \beta \approx \operatorname {tg} \,\beta ={l \over F}}$

Отсюда коэффициент увеличения:

${\displaystyle \Gamma _{d}={\beta \over \alpha }={{l/F} \over {l/d}}={d \over F}}$

При рассматривании вплотную к лупе

При таком наблюдении оптические силы аккомодированного хрусталика и лупы складываются:

${\displaystyle D_{\Sigma }=D_{1}+D_{2}={1 \over d}+{1 \over F}}$

Объект будет наблюдаться под углом:

${\displaystyle \beta \approx \operatorname {tg} \,\beta =D_{\Sigma }l=l({1 \over d}+{1 \over F})}$

Отсюда коэффициент увеличения:

${\displaystyle \Gamma _{d}={\beta \over \alpha }={l({{1/d}+{1/F}}) \over {l/d}}={{F+d} \over F}}$

Коэффициент увеличения

Угол, под которым объект размером l виден с расстояния наилучшего зрения, равен:

${\displaystyle \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha ={l \over d}}$

Действительное изображение находится на расстоянии ${\displaystyle d}$ от глаза и, соответственно, на расстоянии ${\displaystyle L-d}$ от лупы.

Для достижения такого расстояния сам объект следует поместить за линзой на расстоянии ${\displaystyle x}$, которое можно вычислить из формулы плоской линзы:

${\displaystyle {1 \over f_{1}}+{1 \over f_{2}}={1 \over F}}$

${\displaystyle {1 \over x}+{1 \over {L-d}}={1 \over F}}$

${\displaystyle {1 \over x}={1 \over F}-{1 \over {L-d}}}$

${\displaystyle x={1 \over {1/F-1/(L-d)}}={{F(L-d)} \over {L-F-d}}}$

Размер изображения пропорционален отношению расстояний от линзы до предмета и до изображения:

${\displaystyle {l' \over l}={f_{2} \over f_{1}}={L-d \over x}={L-d \over ({F(L-d) \over L-F-d})}={L-F-d \over F}}$

${\displaystyle l'=l{L-F-d \over F}}$

Отсюда легко вычислить угол, под которым наблюдается изображение предмета:

${\displaystyle \beta \approx \operatorname {tg} \,\beta ={l' \over d}={L-F-d \over F}{l \over d}}$

Искомое увеличение:

${\displaystyle \Gamma _{r}={\beta \over \alpha }={((L-F-d)/F)(l/d) \over {l/d}}={L-F-d \over F}}$

Критерий эффективности

${\displaystyle \Gamma _{r}>\Gamma _{d}}$

${\displaystyle {L-F-d \over F}>{F+d \over F}}$

${\displaystyle L>2F+2d}$

${\displaystyle F<{L \over 2}-d}$