PROFILPELAJAR.COM

В теории графов короной с 2n вершинами называется неориентированный граф с двумя наборами вершин u_i и v_i и рёбрами между u_i и v_j, если i ≠ j. Можно рассматривать корону как полный двудольный граф, из которого удалено совершенное паросочетание, как двойное покрытие двудольным графом полного графа, или как двудольный граф Кнезера H_n,1, представляющий подмножества из 1 элемента и (n − 1) элементов множества из n элементов с рёбрами между двумя подмножествами, если одно подмножество содержится в другом.

Примеры

Корона с шестью вершинами образует цикл, а корона с восемью вершинами изоморфна графу куба. В двойной шестёрке Шлефли конфигурации 12 прямых и 30 точек в трёхмерном пространстве, двенадцать прямых пересекают друг друга по схеме короны с 12 вершинами.

Свойства

Бикликовое покрытие короны с десятью вершинами

Число рёбер в короне является прямоугольным числом n(n − 1). Её ахроматическое число равно n — можно найти полную раскраску путём выбора пары {u_i, v_i} в качестве классов цвета^[1]. Короны являются симметричными и дистанционно-транзитивными графами. Архдьякон с соавторами^[2] описывают разбиение рёбер короны на циклы равной длины.

Корону с 2n вершинами можно вложить в четырёхмерное евклидово пространство так, что все её рёбра будут иметь длину единица. Однако такое вложение может поместить несмежные вершины на расстояние единица. Вложение, при котором рёбра имеют длину единица, а расстояние между любыми несмежными вершинами не равно единице, требует как минимум размерности n − 2. Это показывает, что для представления графа в виде графа единичных расстояний и графа строго единичных расстояний требуются совсем различные размерности^[3]. Минимальное число полных двудольных подграфов, требующихся для покрытия рёбер короны (её двудольная размерность, или размер минимального покрытия кликами) равно

\sigma (n)=\min \left\{\,k\mid n\leq {\binom {k}{\lfloor k/2\rfloor }}\,\right\},

то есть обратная функция центрального биномиального коэффициента^[4].

Дополнением короны с 2n вершинами является прямое произведением полных графов K₂ $\square$ K_n, что эквивалентно ладейному графу 2 × n.

Приложение

В этикете — традиционных правилах рассаживания гостей за обеденным столом — мужчины и женщины должны перемежаться и ни одна семейная пара не должна сидеть рядом. Рассаживание, удовлетворяющее этим правилам для вечеринки n семейных пар, можно описать как гамильтонов цикл короны. Задача подсчёта числа возможных рассаживаний или, что почти то же самое^[5], что число гамильтоновых циклов в короне известна в комбинаторике как задача о гостях. Для корон с числом вершин 6, 8, 10, … число (ориентированных) гамильтоновых циклов равно

2, 12, 312, 9600, 416880, 23879520, 1749363840, … последовательность A094047 в OEIS.

Короны можно использовать, чтобы показать, что алгоритм жадной раскраски ведёт себя плохо в некоторых случаях — если вершины короны представлены алгоритму в порядке u₀, v₀, u₁, v₁, и т. д., то жадная раскраска использует n цветов, хотя оптимальным числом цветов является два. Это построение приписывается Джонсону^[6], а сами короны иногда называют графами Джонсона с обозначением J_n^[7]. Фюрер^[8] использовал короны как часть построения, показывающего сложность аппроксимации задачи раскраски.

Матушек^[9] использовал расстояние в коронах как пример метрического пространства, которое трудно вложить в нормированное векторное пространство.

Как показали Миклавич и Порошник^[10], короны входят в небольшое число различных типов графов, которые являются дистанционно-регулярными циркулянтными графами.

Агарвал и соавторы^[11] описывают многоугольники, имеющие короны в качестве графов видимости. Они используют их в качестве примера, чтобы показать, что представление графов в виде объединения полных двудольных графов не всегда эффективно по памяти.

Корона с 2n вершинами с рёбрами, ориентированными от одной стороны двудольного графа к другой, образует стандартный пример частично упорядоченного множества с размерностью упорядочения^[англ.] n.

Примечания

↑ Amitabh Chaudhary, Sundar Vishwanathan. SODA '97: Proceedings of the 8th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. — 1997. — С. 558—563.
↑ D. Archdeacon, M. Debowsky, J. Dinitz, H. Gavlas. Cycle systems in the complete bipartite graph minus a one-factor // Discrete Mathematics^[англ.]. — 2004. — Т. 284, вып. 1—3. — С. 37—43. — doi:10.1016/j.disc.2003.11.021.
↑ Paul Erdős, Miklós Simonovits. On the chromatic number of geometric graphs // Ars Combinatoria. — 1980. — Т. 9. — С. 229—246.
↑ Dominique de Caen, David A. Gregory, Norman J. Pullman. Proc. 3rd Caribbean Conference on Combinatorics and Computing / ред. Charles C. Cadogan. — Department of Mathematics, University of the West Indies, 1981. — С. 169—173.
↑ В задаче о гостях начальная позиция цикла существенна, так что число гамильтоновых циклов и решение задачи о гостях различаются в 2n раз.
↑ D. S. Johnson. Proc. 5th Southeastern Conf. on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Utilitas Mathematicae. — Winnipeg, 1974. — С. 513—527.
↑ M. Kubale. Graph Colorings. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 0-8218-3458-4.
↑ Fürer. Proc. 36th IEEE Symp. Foundations of Computer Science (FOCS '95). — 1995. — С. 414—421. — ISBN 0-8186-7183-1. — doi:10.1109/SFCS.1995.492572.
↑ Jiří Matoušek. On the distortion required for embedding finite metric spaces into normed spaces // Israel Journal of Mathematics. — 1996. — Т. 93, вып. 1. — С. 333—344. — doi:10.1007/BF02761110.
↑ Štefko Miklavič, Primož Poročnik. Distance-regular circulants // European Journal of Combinatorics. — 2003. — Т. 24, вып. 7. — С. 777—784. — doi:10.1016/S0195-6698(03)00117-3.
↑ Pankaj K. Agarwal, Noga Alon, Boris Aronov, Subhash Suri. Can visibility graphs be represented compactly? // Discrete and Computational Geometry. — 1994. — Т. 12, вып. 1. — С. 347—365. — doi:10.1007/BF02574385.