В отличие от многообразий — классов алгебраических систем, аксиоматизируемых тождествами — особую роль в теории квазимногообразий играют теоретико-модельные методы, тогда как многообразия в основном рассматриваются для алгебр (алгебраических систем без отношений в сигнатуре) и изучаются общеалгебраическими методами[1].
Для алгебраической системы с набором операций и отношений квазиатомарными считаются формулы вида:
(или в нотации отношений: ),
,
где , , а — символы переменных. (Иногда равенство включают в сигнатуру алгебраической системы как отношение и в этом случае достаточно формул первого вида.)
Квазитождества — формулы вида:
где — квазиатомарные формулы с переменными . Квазимногообразие — класс алгебраических систем, задаваемый набором квазитождеств.
Характеристические свойства
Всякое многообразие алгебраических систем является квазимногообразием вследствие того, что всякое тождество (из квазиатомарной формулы) можно заменить, например, равносильным ему квазитождеством [2].
Если квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, то оно конечно определимо➤[3].
Единичная алгебраическая система для заданной сигнатуры , то есть система с носителем из одного элемента , при которой и , является квазимногообразием (и, более того, многообразием). Наименьшее квазимногообразие заданной сигнатуры является многообразием, задаётся тождествами и и состоит из единственной единичной системы. Наибольшее квазимногообразие заднной сигнатуры также является многообразием — классом всех систем заданной сигнатуры, задаваемым тождеством .[4]
Чтобы класс систем являлся квазимногообразием необходимо и достаточно, чтобы он был одновременно локально замкнут, мультипликативно замкнут (содержал любое декартово произведение своих систем) и содержал единичную систему. Локальная и мультипликативная замкнутость для этого признака могут быть эквивалентно заменены на замкнутость относительно фильтрованных произведений и наследственность[уточнить][6].
Первым результатом применения квазитождеств в общей алгебре считается результат Анатолия Мальцева1939 года[7], в котором построена бесконечная серия квазитождеств, характеризующая класс вложимых в группы полугрупп. В работе 1943 года Чена Маккинси[англ.][8] связал с квазитождествами некоторые алгоритмические проблемы алгебры, а одним из результатов решения Робертом Дилуорсом[англ.] в 1945 году[9] задачи о существовании недистрибутивных решёток с единственным дополнением, стало доказательство факта, что квазимногообразия имеют свободные системы.
Теорема Новикова (1955) о неразрешимости проблемы равенства слов в группах фактически означает неразрешимость хорновой теории групп, то есть также может быть отнесена к результатам, относящимся к квазимногообразниям.
Становление теории квазимногообразий как самостоятельной ветви универсальной алгебры относится к работам Мальцева, Табаты и Фудзивары конца 1950-х — начала 1960-х годов. Доклад Мальцева на Международном конгрессе математиков1966 года в Москве, в котором были сформулированы некоторые важные проблемы, относящиеся к квазимногообразиям, способствовал росту интереса математиков к этой ветви[10].
Особый всплеск интереса к теории квазимногообразий проявился в 1970-е годы, когда началось широкое применение хорновой логики в логическом программировании (прежде всего, в работах, связанных с языком программирования Пролог) и в теории баз данных.
↑Горбунов, 1999, Принципиальное отличие состоит в том, что в теории многообразий исследуются алгебры, в то время как в теории квазимногообразий — произвольные алгебраические системы, с. viii.
Аратмонов В. А.; Салий В. Н.; Скорняков Л. А.; Шеврин Л. Н.; Шульгейфер Е. Г.Универсальные алгебры // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.