PROFILPELAJAR.COM

Интегральное уравнение Фре́дгольма^[1] — интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма. Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Общая теория

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

$\psi (s)=\int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt$

где функция $K$ называется ядром уравнения, а оператор $A$ , определяемый как

$A\varphi =\int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt$ , называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого рода

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

g(t)=\int \limits _{a}^{b}\!K(t,s)f(s)\,ds

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра $K(t,s)$ и функции $g(t)$ найти функцию $f(s)$ .

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть $K(t,s)=K(t-s)$ , и пределы интегрирования $\pm \infty$ , тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций $K$ и $f$ , а, следовательно, решение даётся формулой

f(t)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega t}\,d\omega

где ${\mathcal {F}}_{t}$ и ${\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}$ — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара.

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

.

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро $K(t,s)$ и функцию $f(t)$ , найти функцию $\varphi (t)$ . При этом существование решения и его множественность зависит от числа $\lambda$ , называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана.