Естественное преобразование

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, потому что оно появляется в большинстве её приложений.

Определение

Пусть и  — ковариантные функторы из категории в . Тогда естественное преобразование из в сопоставляет каждому объекту категории морфизм в категории , называемый компонентой в , так, что для любого морфизма диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов и определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

Если η — естественное преобразование функтора F в функтор G, мы пишем η : FG. Также об этом говорят, что семейство морфизмов ηX : F(X) → G(X) естественно по X.

Если для каждого X в C морфизм ηX является изоморфизмом в D, то η называют естественным изоморфизмом (или, иногда, естественной эквивалентностью или изоморфизмом функторов).

Инфраестественное преобразование η из F в G — это просто семейство морфизмов ηX: F(X) → G(X). Натурализатор η, nat(η), — это самая большая подкатегория C, содержащая те объекты C, в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : FG и ε : GH — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : FH. Это делается покомпонентно: (εη)X = εXηX. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать категорию функторов.

Примеры

Пример естественного преобразования

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть  — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка над образуют моноид по умножению, а  — мультипликативный моноид самого кольца . Пусть будет функтором, переводящим кольцо в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение будет естественным преобразованием между функтором и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу его мультипликативный моноид (оба функтора из категории коммутативных колец в категорию моноидов ).

Пример «неестественного» преобразования

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть  — n-мерное векторное пространство над полем .  — его базис,  — базис сопряжённого пространства функционалов , такой что

где  — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

и распространим линейно на всё пространство . отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор в контравариантный функтор , отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор ковариантным функтором (где , ). Преобразование не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм является умножением на 2:

Тогда , в то время как , то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство , то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм (а именно для любого и функционала ). В данном случае изоморфизм определяет естественное преобразование тождественного функтора в функтор .

Полиморфные функции

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverseT :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reversea = reverseb . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
  • Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
  • Wadler, Philip — Theorems for free!

Read other articles:

Благовещенский кондакарь, один из древнейших русских сборников кондаков (XII—XIII века) Правосла́вная му́зыка — просторечное словосочетание, обычно обозначающее музыку, связанную, главным образом, с богослужением византийского обряда в Православной Церкви с правосла�...

 

 

National rugby federation Algerian Rugby Federation (FAR)SportRugby unionFounded17 November 2015; 8 years ago (17 November 2015) (17 November 2015; 8 years ago (17 November 2015))Rugby Africa affiliation2015PresidentSofiane Abdelkader BenhassenMen's coachSalim TebaniWebsitedzrugby.com The Algerian Rugby Federation (FAR) ; (Arabic: الفدرالية الجزائرية للرغبي) is the governing body for rugby union in Algeria. Algeria became a full memb...

 

 

Ne doit pas être confondu avec Ohmique. OmiqueLes principaux sujets d'étude omiques menant à la connaissance d'un phénotype.Partie de Spécialité (d)modifier - modifier le code - modifier Wikidata Les branches de la science connues sous le nom d'omiques (ou -omiques) sont constituées de diverses disciplines de la biologie dont les noms se terminent par le suffixe « -omique », comme la génomique, la protéomique, la métabolomique, la métagénomique et la transcriptomique[...

Rantai Komando Satuan Serdadu Komandan Regu 8–13 Komandan regu Peleton 26–55 Komandan peleton Kompi 80–225 Kapten/Mayor Batalyon 300–1,300 (Letnan) Kolonel Resimen/Brigade 3,000–5,000 Letnan Kolonel / (Brigadir Jenderal) Divisi 10,000–15,000 Mayor Jenderal Korps 20,000–45,000 Letnan Jenderal Tentara darat medan 80,000–200,000 Jenderal Kelompok tentara 400,000–1,000,000 Jenderal Besar Daerah militer 1,000,000–3,000,000 Jenderal Besar Tentara mandala 3,000,000–10,000,000 ...

 

 

Mato Grosso do Sulstato federato(PT) Estado de Mato Grosso do Sul LocalizzazioneStato Brasile AmministrazioneCapoluogoCampo Grande GovernatoreEduardo Riedel (PSDB) dal 2023 TerritorioCoordinatedel capoluogo20°11′S 54°42′W / 20.183333°S 54.7°W-20.183333; -54.7 (Mato Grosso do Sul)Coordinate: 20°11′S 54°42′W / 20.183333°S 54.7°W-20.183333; -54.7 (Mato Grosso do Sul) Altitudine293 m s.l.m. Superficie357 124,962...

 

 

Cave in France Grotte de LombrivesEntrance to LombrivesLocation in FranceLocationOrnolac-Ussat-les-Bains, near Tarascon, Ariège, FranceCoordinates42°49′24″N 01°36′59″E / 42.82333°N 1.61639°E / 42.82333; 1.61639WebsiteGrotte de Lombrives Grotte de Lombrives or Lombrives Cave is a large natural cavern located in Ornolac-Ussat-les-Bains, at the eastern edge of the Pyrénées Ariégeoises Natural Regional Park, in the Ariège department of Occitanie, in southw...

Культура Армении Литература Архитектура Музыка Театр Танец Одежда Ковроделие Миниатюра Изобразительное искусство Мифология Книгопечатание Образование Кино Календарь Система счисления Философия Право Кулинария Исто́рия армя́нского книгопеча́тания — история изд...

 

 

As of October 2022, 79 Nobel laureates have been affiliated with Princeton University.The building pictured is Nassau Hall. This list of Nobel laureates affiliated with Princeton University as alumni or faculty comprehensively shows alumni (graduates and attendees) or faculty members (professors of various ranks, researchers, and visiting lecturers or professors) affiliated with Princeton University who were awarded the Nobel Prize or the Nobel Memorial Prize in Economic Sciences. People who...

 

 

Not to be confused with Barenaked Ladies Are Men. This article possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (December 2007) (Learn how and when to remove this message) 2006 studio album by Barenaked LadiesBarenaked Ladies Are MeStudio album by Barenaked LadiesReleasedSeptember 12, 2006Recorded October 17–November 20, 2005 (Beds) February 5–April 28...

Pour les articles homonymes, voir Villatte. Villate L'église. Blason Administration Pays France Région Occitanie Département Haute-Garonne Arrondissement Muret Intercommunalité Le Muretain Agglo Maire Mandat Jean-Claude Garaud 2020-2026 Code postal 31860 Code commune 31580 Démographie Gentilé Villatois Populationmunicipale 1 140 hab. (2021 ) Densité 626 hab./km2 Géographie Coordonnées 43° 28′ 16″ nord, 1° 22′ 48″ est Altitude Mi...

 

 

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (يونيو 2021) كأس الدوري البرتغالي 2018–19 تفاصيل الموسم كأس الدوري البرتغالي  النسخة 12  ا...

 

 

脂肪酸合成是指利用乙醯輔酶A以及丙二醯輔酶A經過脂肪酸合酶的催化,反應合成脂肪酸的過程。這對細胞和生物體內的脂肪生成(英语:Lipogenesis)作用與糖解作用是相當重要的一項流程。該過程發生在細胞的細胞質中。 轉化為脂肪酸的大部分乙酰輔酶A通過糖酵解途徑來源於糖类。 直鏈脂肪酸 直鏈脂肪酸具有兩種型態:飽和直鏈脂肪酸以及不飽和直鏈脂肪酸 飽和直鏈脂�...

British game show Some of this article's listed sources may not be reliable. Please help improve this article by looking for better, more reliable sources. Unreliable citations may be challenged and removed. (February 2024) (Learn how and when to remove this message) Deal or No DealAlso known as Celebrity Deal or No Deal Deal or No Deal on Tour GenreGame showPresented by Noel Edmonds Stephen Mulhern Theme music composerAugustin BousfieldCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishN...

 

 

Islamic monarchy claiming to succeed Muhammad Caliph redirects here. For other uses, see List of caliphs, Caliph (disambiguation), and Caliphate (disambiguation). The Caliphate redirects here. For the modern militant group, see Islamic State. Caliphateخِلافة‎ Main caliphates Rashidun Caliphate Umayyad Caliphate Abbasid Caliphate Ottoman Caliphate Parallel caliphates Umayyad Caliphate in al-Andalus Fatimid Caliphate Almohad Caliphate Sokoto Caliphate Sharifian Caliphate Islam p...

 

 

بلدة بالدوين الإحداثيات 44°19′19″N 83°27′17″W / 44.321944444444°N 83.454722222222°W / 44.321944444444; -83.454722222222   [1] تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[2]  التقسيم الأعلى مقاطعة يوسكو  خصائص جغرافية  المساحة 31.3 ميل مربع  ارتفاع 178 متر  عدد السكان  عدد السكان 1614...

Ne doit pas être confondu avec Maarja Kivi. Maarja-Liis IlusMaarja-Liis Ilus en 2006FonctionAmbassadrice de bonne volontéBiographieNaissance 24 décembre 1980 (43 ans)TallinnPseudonyme MaarjaNationalité estonienneFormation Tallinn School No. 21 (en)Activité ChanteusePériode d'activité Depuis 1984Père Märt Ilus (d)Mère Merle Ilus (d)Parentèle Elmar Ilus (d) (grand-père)Peeter Ilus (d) (oncle)Ants Ilus (d) (oncle)Autres informationsGenre artistique PopSite web ww...

 

 

Soviet sculptor (1890–1977) Naum GaboKBENaum Gabo (1957)BornNaum Neemia Pevsner(1890-08-05)5 August 1890Bryansk, Oryol Governorate, Russian EmpireDied23 August 1977(1977-08-23) (aged 87)Waterbury, Connecticut, USNationalityRussianKnown forSculpture, Kinetic art, PrintmakingMovementConstructivism Naum Gabo, KBE born Naum Neemia Pevsner (Russian: Наум Борисович Певзнер, Hebrew: נחום נחמיה פבזנר) (5 August [O.S. 24 July] 1890 &...

 

 

لوس موتشيس   تاريخ التأسيس 1893  تقسيم إداري البلد المكسيك  [1][2] خصائص جغرافية إحداثيات 25°47′37″N 108°59′49″W / 25.793611111111°N 108.99694444444°W / 25.793611111111; -108.99694444444   الارتفاع 10 متر  السكان التعداد السكاني 256,623 نسمة (إحصاء 2010) معلومات أخرى المدينة التوأم أونت�...

Musical notation This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Figured bass – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2012) (Learn how and when to remove this message) Melody from the opening of Henry Purcell's Thy Hand, Belinda, Dido and Aeneas (1689) with figured bass below (Playⓘ, Playⓘ wit...

 

 

Part of a series on theCulture of Canada History Canadians Ethnicity Folklore Free expression Identity Immigration Holidays Languages Multiculturalism Symbols Royal Protectionism Women Values Topics Architecture Art Comics Quebec Crime Cuisine Festivals Humour Law Literature Media Cinema Television Radio Newspapers Internet Video games Music Peacekeeping Politics Religion Sports Theatre Research Bibliography HistoriographyHistorians Studies Surveys Canada portalvte Canadian folklore is t...