PROFILPELAJAR.COM

Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.

Дополнение является важной конструкцией в теории узлов, связывающей её с трёхмерной топологией. Многие инварианты узлов, такие как группа узла, являются в действительности инвариантами их дополнений.

Определение

Дополнением ручного узла называют несколько тесно связанных между собой пространств. В простейшем случае имеется в виду теоретико-множественная разность $\mathbb {R} ^{3}\backslash K$ , где $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ — некоторый геометрический представитель данного узла.

Такое пространство обладает рядом недостатков^[1], и чаще рассматривают разность $S^{3}\backslash K$ , где $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ — одноточечная компактификация трёхмерного евклидова пространства, то есть трёхмерная сфера.

Наконец, для возможности привлечения различных алгебро-топологических и аналитических инструментов, требующих компактности, в литературе дополнением узла обычно называют множество

X_{K}:=S^{3}\backslash U(K)

,

где $U(K)$ — открытая трубчатая окрестность геометрического узла $K$ ^[2].

Аналогично определяются дополнения зацеплений.

Несмотря на своё определение, пространство $X_{K}$ может быть вложено в $\mathbb {R} ^{3}$ , а именно, оно гомеоморфно пространству, получающемуся из шара вырезанием открытого цилиндра, заузленного в форме $K$ .

Примеры

Дополнение тривиального узла получается из шара вырезанием прямого цилиндра и гомеоморфно полноторию. Альтернативный взгляд на данный полноторий представлен на рисунке. Вместе с таким полноторием трубчатая окрестность тривиального узла образует простейшее разбиение Хегора трёхмерной сферы.

Внутренность дополнения узла трилистника гомеоморфна фактору вещественной специальной линейной группы по её дискретной подгруппе:

{\rm {Int}}(X_{K})\cong {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )/{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )

.

Эта внутренность также гомотопически эквивалентна конфигурационному пространству ${\rm {UConf}}_{3}(\mathbb {R} ^{2})$ трёхэлементных подмножеств плоскости, которое является шестимерным многообразием.

Свойства

Пространство $X_{K}$ является связным, компактным, неприводимым трёхмерным многообразием. Его внутренность гомеоморфна пространству $S^{3}\backslash K$ . Его край, в свою очередь, гомеоморфен тору, поскольку совпадает с краем замыкания трубчатой окрестности $U(K)$ , гомеоморфного полноторию. В отличие от $X_{K}$ , пространства $\mathbb {R} ^{3}\backslash K$ и $S^{3}\backslash K$ являются некомпактными трёхмерными многообразиями без края.

Дополнения узлов, а также зацеплений, являются многообразиями Хакена.

Фундаментальные группы пространств $\mathbb {R} ^{3}\backslash K$ , $S^{3}\backslash K$ и $X_{K}$ изоморфны и называются группой узла. Первая группа гомологий дополнения узла является бесконечной циклической и, как и для любого пространства, изоморфна абелианизации его фундаментальной группы:

H_{1}(X_{K};\mathbb {Z} )\cong \pi _{1}(X_{K})^{ab}\cong \mathbb {Z}

.

Она порождается образом любой меридианальной петли узла. Целое число, соответствующее гомологическому классу в $H_{1}(X_{K};\mathbb {Z} )$ замкнутой ориентированной кривой в $X_{K}$ , равно коэффициенту зацепления этой кривой с геометрическим узлом $K$ .

Поскольку пространство $X_{K}$ связно, имеется изоморфизм $H_{0}(X_{K};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ . Как и младшие группы гомологий, гомологии дополнения узла можно вычислить с помощью двойственности Александера:

{\begin{aligned}H_{1}(X_{K};\mathbb {Z} )&\cong H^{1}(U(K);\mathbb {Z} )\cong H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,\\H_{2}(X_{K};\mathbb {Z} )&\cong {\tilde {H}}^{0}(U(K);\mathbb {Z} )\cong {\tilde {H}}^{0}(S^{1};\mathbb {Z} )\cong 0,\\H_{3}(X_{K};\mathbb {Z} )&\cong 0.\end{aligned}}

В отличие от $H_{2}(X_{K};\mathbb {Z} )$ , относительная группа гомологий $H_{2}(X_{K},\partial X_{K};\mathbb {Z} )$ не тривиальна, а является бесконечной циклической, порождённой любой поверхностью Зейферта узла.

Как показал Христос Папакирьякопулос, высшие гомотопические группы пространства $X_{K}$ тривиальны, иными словами, дополнение любого узла является асферическим^[3].

Теорема Гордона — Люке

Дополнения узла и его зеркального образа гомеоморфны. Теорема, доказанная Кэмероном Гордоном^[англ.] и Джоном Люке^[англ.], гласит, что это единственная возможность. А именно, дополнения двух ручных узлов гомеоморфны тогда и только тогда, когда они либо совпадают, либо являются зеркальными образами друг друга^[4]. Таким образом, дополнение узла практически является его полным инвариантом.

Классификация Тёрстона

Согласно теореме о геометризации трёхмерных многообразий, если дополнение узла является аторическим^[англ.], то на его внутренности можно ввести структуру одной из восьми трёхмерных геометрий.

Дополнения торических узлов являются аторическими многообразиями Зейферта. На их внутренностях можно ввести как геометрию универсального накрытия ${\overline {{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ , так и произведения $\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R}$ . Например, в случае трилистника геометрия с моделью ${\overline {{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ может быть введена с помощью гомеоморфизма между внутренностью его дополнения и пространством ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )/{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ .

Как следует из определения, дополнение узла не является аторическим в том и только в том случае, если узел является сателлитным. Согласно теореме о гиперболизации^[англ.], доказанной Уильямом Тёрстоном, если узел не является сателлитным или торическим, то на внутренности его дополнения можно ввести геометрию гиперболического пространства $\mathbb {H} ^{3}$ , причем единственным образом. В связи с этим такие узлы называются гиперболическими.

Разбиение множества всех узлов на торические, сателлитные и гиперболические называется классификацией Тёрстона.

Примечания

↑ Например, в отличие от $\mathbb {R} ^{3}\backslash K$ , пространство $S^{3}\backslash K$ является неприводимым, то есть в нём любая топологическая сфера ограничивает шар.
↑ Существование такой трубчатой окрестности эквивалентно тому, что исходный узел является ручным.
↑ Papakyriakopoulos C.. On Dehn's lemma and asphericity of knots (англ.) // Annals of Mathematics. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1–26. — doi:10.2307/1970113. — JSTOR 1970113.
↑ Gordon C., Luecke J.. Knots are determined by their complements (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1989. — Vol. 20, no. 1. — P. 83—87. — doi:10.2307/1990979.