Двойственное пространство (также дуальное пространство, иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве ${\displaystyle E}$, также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к ${\displaystyle E}$, оно обычно обозначается ${\displaystyle E^{*}}$. Множество всех линейных функционалов на ${\displaystyle E}$, не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к ${\displaystyle E}$, оно обычно обозначается ${\displaystyle E^{\#}}$ ^[1].

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство ${\displaystyle E}$ конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{*}=E^{\#}}$ состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на ${\displaystyle E}$. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда ${\displaystyle E}$ бесконечномерное, вообще говоря, ${\displaystyle E^{*}\neq E^{\#}}$^[1].

В тензорном исчислении применяется обозначение ${\displaystyle x^{k}}$ для элементов ${\displaystyle E}$ (верхний, или контравариантный, индекс) и ${\displaystyle x_{k}}$ для элементов ${\displaystyle E^{*}}$ (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть ${\displaystyle V,W}$ — векторные пространства, а ${\displaystyle V^{*},W^{*}}$ — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения ${\displaystyle f:V\to W}$ двойственное отображение ${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$ (в обратном порядке) определяется как

${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$

для любого ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$.

• Сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{*}}$ имеет ту же размерность, что и пространство ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle F}$. Следовательно, пространства ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ изоморфны.
• Каждому базису ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n}}$ пространства ${\displaystyle E}$ можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ пространства ${\displaystyle E^{*}}$, где функционал ${\displaystyle e_{i}}$ — проектор на вектор ${\displaystyle e^{i}}$:

  ${\displaystyle e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i},\quad \forall x\in E.}$

• Если пространство ${\displaystyle E}$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением

  ${\displaystyle v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.}$

• Второе сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{**}}$ изоморфно ${\displaystyle E}$. Более того, существует канонический изоморфизм между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{**}}$ (при этом не предполагается, что пространство ${\displaystyle E}$ евклидово), определённый соотношением

  ${\displaystyle x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.}$

• Определенный выше канонический изоморфизм ${\displaystyle E\to E^{**}}$ показывает, что пространства ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для ${\displaystyle x\in E,\ f\in E^{*}}$ часто пишут ${\displaystyle f(x)=(x,f)}$ подобно записи скалярного произведения.

• Если векторное пространство ${\displaystyle E}$ нормированное, то сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{*}}$ имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство ${\displaystyle E^{*}}$ — банахово^[3][1].

• Если пространство ${\displaystyle E}$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства ${\displaystyle E}$^[4].

• Сопряжённым к пространству ${\displaystyle L^{p}}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$, является пространство ${\displaystyle L^{q}}$, где ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Аналогично, сопряжённым к ${\displaystyle l^{p}}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$, является ${\displaystyle l^{q}}$ с тем же соотношением между p и q.

• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство ${\displaystyle {\bar {E}}}$, совпадающее с ${\displaystyle E}$ как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  ${\displaystyle {\bar {c}}{\bar {x}}={\overline {cx}}}$

• При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

• Ковариантность и контравариантность
• Рефлексивное пространство