Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий и для произвольных топологических пространств, но случай поверхностей является наиболее изученным в теории групп.

Начало изучению групп классов отображений было положено Максом Деном и Якобом Нильсеном. Ден построил конечную систему образующих этой группы,^[1] а Нильсен доказал, что все автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей инициируются гомеоморфизмами.

В середине семидесятых Уильям Тёрстон использовал эту группу при изучении трёхмерных многообразий.^[2]

Позднее группа классов стала изучаться в геометрической теории групп, где она служит полигоном для различных гипотез и разработке технических инструментов.

Пусть ${\displaystyle S}$ есть связная, замкнутая, ориентируемая поверхность, и ${\displaystyle \mathrm {Homeo} ^{+}(S)}$ есть группа её гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, снабжённая компактно-открытой топологией.

Связная компонента единицы в ${\displaystyle \mathrm {Homeo} ^{+}(S)}$  обозначается ${\displaystyle \mathrm {Homeo} _{0}(S)}$. Она состоит из гомеоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Homeo} ^{+}(S)}$, изотопных тождественному гомеоморфизму. Подгруппа ${\displaystyle \mathrm {Homeo} _{0}(S)}$  является нормальной подгруппой ${\displaystyle \mathrm {Homeo} ^{+}(S)}$.

Группа классов преобразований поверхности отображений ${\displaystyle S}$ определяется как факторгруппа

${\displaystyle \mathrm {Mod} (S)=\mathrm {Homeo} ^{+}(S)/\mathrm {Homeo} _{0}(S).}$

• Если в этом определении использовать все гомеоморфизмы (не только сохраняющие ориентацию), получаем расширенную группу классов преобразований ${\displaystyle \mathrm {Mod} ^{\pm }(S)}$, в которой группа ${\displaystyle \mathrm {Mod} (S)}$ содержится как подгруппа индекса 2.

• Это определение также может быть дано для категории диффеоморфизмов. Точнее, если слово «гомеоморфизм» заменить везде на «диффеоморфизм», мы получаем ту же группу, поскольку включение ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{+}(S)\subset \mathrm {Homeo} ^{+}(S)}$ индуцирует изоморфизм соответствующими классами.

• В случае, когда ${\displaystyle S}$ — компактная поверхность с краем ${\displaystyle \partial S}$, в определении берутся только гомеоморфизмы, фиксирующие все точки на краю.

• Для поверхностей с выколотыми точками группа определяется точно так же, как указано выше.
  • Обратите внимание, что отображению классов разрешается переставлять выколотые точки, но не компоненты края.

• Группа классов преобразований сферы — тривиальна.
• Группа классов отображений тора ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ естественно изоморфна модулярной группе ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$.
• Группа классов отображений кольца является циклической группой, образованной одним скручиванием Дена.
• Группа кос с n нитями естественным образом изоморфна группе классов преобразований диска n выколотыми точками.

• Группа классов преобразований поверхности счётная.

• Расширенная группа классов преобразований поверхности без края изоморфна группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
  • Более того, любой автоморфизм фундаментальной группы индуцируется некоторым гомеоморфизмом поверхности.
  • Вообще говоря, утверждение перестаёт быть верным для поверхностей с краем. В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, и группа внешних автоморфизмов группы включает группу классов преобразований поверхности как собственную подгруппу.

• Для компактной поверхности ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle x\in S}$ существует точная последовательность

  ${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \mathrm {Mod} (S\setminus \{x\})\to \mathrm {Mod} (S)\to 1.}$

• Любой элемент ${\displaystyle \alpha }$ группы классов преобразований поверхности попадает в одну из трёх категорий:
  • ${\displaystyle \alpha }$ имеет конечный порядок (то есть ${\displaystyle \alpha ^{n}=1}$ для некоторого ${\displaystyle n}$);
  • ${\displaystyle \alpha }$ приводим, то есть существует набор непересекающихся замкнутых кривых на ${\displaystyle S}$, сохраняющихся под действием ${\displaystyle \alpha }$;
  • ${\displaystyle \alpha }$ псевдо-Аносов^[англ.].

• Группа классов преобразований поверхности может быть порождена
  • Двумя элементами^[3]
  • Инволюциями^[4]
  • Существует конечное задание с скручиваниями Дена как образующими.
    • Наименьшее число скручиваний Дена, образующих группу классов преобразований поверхности рода ${\displaystyle g\geqslant 2}$, равно ${\displaystyle 2g+1}$.

• Группа классов преобразований поверхности естественно действует на её пространстве Тейхмюллера.
  • Это действие собственно разрывное, не свободно.
  • Метрики на пространстве Тейхмюллера могут быть использованы для установления некоторых глобальных свойств группы классов преобразований. Например из этого следует, что максимальная квази-изометрически вложенная плоскость в группу классов преобразований поверхности рода ${\displaystyle g}$ имеют размерность ${\displaystyle 3g-3+k}$.^[5]

• Группа классов преобразований поверхности естественно действует на комплексе кривых^[англ.] поверхности. Это действие, вместе с комбинаторно-геометрическими свойствами комплекса кривых, может быть использовано для доказательства различных свойств группы классов преобразований.
  • В частности, это объясняет наличие у группы некоторых свойств, близких к гиперболичности Громова.

• Первые гомологии группы классов преобразований поверхности конечны.
  • Из этого следует, что первые группы когомологий также конечны.

• Группа классов преобразований поверхности остаточно конечна.

• Группа классов преобразований поверхности имеет только конечное число классов сопряжённости.

• Неизвестно, является ли группа классов преобразований поверхности линейной группой. Кроме симплектических представлений на гомологиях, известны и другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля. Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими^[6].
• Размерность нетривиального действия группы классов преобразований поверхности рода ${\displaystyle g}$ не может быть меньше ${\displaystyle 2{\sqrt {g-1}}}$^[7].

• Алексей Жиров. Топологическая сопряжённость псевдоаносовских гомеоморфизмов. — МЦНМО, 2013. — 1000 экз. — ISBN 978-5-4439-0213-5.
• A. A. Гайфулин, Группы классов отображений и их подгруппы Архивная копия от 17 сентября 2017 на Wayback Machine.