PROFILPELAJAR.COM

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма: если $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ , где $A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N}$ и $x,y,z>2$ , то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов^[1].

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших $z$ ^[2], а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма (доказанной в 1995 году Эндрю Уайлсом).

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000^[3]. 24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа

n>2

и

A

,

B

,

C

такие, что

A^{n}+B^{n}=C^{n}

. Тогда гипотеза Била для

x=y=z=n

влечёт существование простого числа

p

, делящего каждое из чисел

A

,

B

и

C

. Но тогда

(A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}

, а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству

A^{n}+B^{n}=C^{n}

, можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья

n

-я степень является суммой

n

-х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел