Окончил МГИМО (1968). С того же года на работе в МИД СССР.
В 1968—1971 годах — референт-секретарь генерального консульства СССР в Аннабе (Алжир), затем — атташепосольства СССР в Алжире.
В 1973—1974 годах — работает в центральном аппарате МИД СССР.
В 1977—1985 годах — второй секретарь, затем — первый секретарь посольства СССР во Франции. По некоторому упоминанию, в апреле 1983 года А. Авдеев был в числе 47 советских дипломатов, высланных вследствие предательства подполковника КГБ Владимира Ветрова. Однако потом Авдееву удалось вернуться в Париж[1].
В 1985—1987 годах — заведующий сектором Первого Европейского отдела МИД СССР в ранге советника.
В 1987—1990 годах чрезвычайный и полномочный посол СССР в Люксембурге.
В 1991—1992 годах заместитель министра внешних сношений СССР.
В 1992—1996 годах чрезвычайный и полномочный посол России в Болгарии.
С марта 2002 по май 2008 года работал чрезвычайным и полномочным послом России во Франции. В 2007—2008 годы — чрезвычайный и полномочный посол России в Княжестве Монако по совместительству[2].
Как отмечал архиепископ Корсунский Иннокентий (Васильев): «Между посольством Российской Федерации во Франции и Корсунской епархией существовали регулярные контакты и плодотворные связи. Посольство с интересом относилось к проблемам русского православного рассеяния и помогало решать их. Особенно сотрудничество проявилось во время визита в Париж Патриарха Московского и всея Руси Алексия II в октябре 2007 года. Александр Авдеев принял лично значительное участие в подготовке и проведении этого визита»[3].
Александр Авдеев на посту министра выступал за увеличение финансирования культуры. За 2009—2012 годы объём господдержки культуры вырос на 25 % — до 94 миллиардов рублей. При этом Авдеев указывал, что этих денег недостаточно для его области[7]. Во время деятельности министра был налажен культурный обмен между Россией и зарубежьем: проведение года России-Франции в 2010, года России — Испании и России — Италии в 2011[8], год России — Германии в 2012—2013[9].
8 октября 2009 года министр культуры России Александр Авдеев высказался против строительства башни «Охта-центр» в Санкт-Петербурге: «Наше мнение отрицательное. Я как министр культуры против строительства такой башни, моё мнение разделяют и другие сотрудники министерства. Мы будем принимать решительные меры, чтобы не допустить возведения небоскреба». Он также пообещал, что его министерство выступит с официальным заявлением по этом вопросу, «когда будет сделан полный юридический анализ документов»[10].
В октябре 2009 года министр культуры РФ направил в прокуратуру Санкт-Петербурга заключение Росохранкультуры, указывающее на грубые нарушения законодательства при разрешении высотных параметров проекта[11].
В начале 2011 года, когда помощник президента Аркадий Дворкович предложил пересмотреть механизмы начисления студентам стипендий, Александр Авдеев выступил с критикой этой идеи, заявив, что стипендии для учащихся творческих ВУЗов должны быть сохранены и студентам нужно помогать[13].
При участии министра в феврале 2011 года была ликвидирована служба «Росохранкультура». Одной из причин стал результат проверки этой службы Счётной палатой, признавшей её неэффективность[14]. По словам Авдеева, функции этой службы перейдут Министерству культуры, а ликвидация «Росохранкультуры» усилит защиту памятников, поможет добиться выполнения законов в области охраны культурного наследия. Критики этого решения отмечают, что федеральная служба занималась контролем за расходованием средств, которые использовал Минкульт для реставрации объектов. По их мнению, теперь контрольные функции перейдут к министерству, что приведёт к ситуации, когда Министерство культуры тратит ресурсы и само следит за законностью своих операций[15].
Министерство культуры работало над проблемой «Ленфильма», который из-за убыточности должен быть реформирован. Был разработан план акционирования и приватизации, но с ним не согласились известные кинодеятели. Они разработали собственный проект реформы. Авдеев пообещал, что он будет добиваться максимального учёта мнения работников «Ленфильма»[16][17]. Также он заявил:
Его судьбу надо решать, не используя логику коммерческих проектов. «Ленфильм» должен оставаться действующей и действенной киностудией. Это не бизнес-проект, хотя и должен окупать себя.
Конфликт так и не был разрешён до ухода в отставку Александра Авдеева.
19 марта 2012 года Александр Авдеев подписал приказ Министерства культуры «Об утверждении границ территории объекта культурного наследия федерального значения достопримечательного места „Бородинское поле и памятники на нём“, характера её использования, ограничений и требований к хозяйственной деятельности, проектированию и строительству». Этот приказ устанавливает чёткие границы и регулирует использование Бородинского военно-исторического музея-заповедника, придаёт особый статус прилегающим к нему землям. Запрещается любая деятельность, наносящая вред объекту культурного наследия или не связанная с исследовательскими, реставрационными работами. Больши́е полномочия по охране территорий передаются дирекции Бородинского военно-исторического музея-заповедника[19][20].
Орден Почёта (21 июня1996 года) — за заслуги перед государством, большой вклад в проведение внешнеполитического курса и обеспечение национальных интересов России, мужество и самоотверженность, проявленные при исполнении служебного долга[27].
Орден Дружбы (6 февраля2007 года) — за большой вклад в реализацию внешнеполитического курса Российской Федерации и укрепление сотрудничества между Россией и Францией[28].
Обладает одной из лучших коллекций гравюр, посвящённой российско-французским и российско-болгарским отношениям, которую он начал собирать до поста министра культуры, будучи послом в Болгарии. В 2012 году в Государственном Историческом музее прошла выставка «Балканский триумф», где были представлены гравюры из его личного собрания[34][35][36].