F₄ (математика)

В математике F₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли ${\mathfrak {f}}_{4}$ . F₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Группа F₄ односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F₄, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F₄ является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как «октонионная проективная плоскость», OP². Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.

Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй ${\mathfrak {f}}_{4}$ : компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F₄ может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли ${\mathfrak {so}}(9)$ 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в построении E₈.

Алгебра

Корневые векторы F₄

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1,0,\pm 1,0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)

и простые положительные корневые векторы

(0,1,-1,0)

(0,0,1,-1)

(0,0,0,1)

\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)

Группа Вейля/Коксетера

Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.

Матрица Картана

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Решётка симметрии F₄

4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F₄ как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.

Источники

John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. On-line HTML вариант (англ.) (Дата обращения: 26 декабря 2009)

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное Действие группы
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа C_n Симметрическая группа S_n Диэдрическая группа D_n Знакопеременная группа A_n Четверная группа Клейна Группы Матьё M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Группы Конвея Co₁ Co₂ Co₃ Группы Янко J₁ J₂ J₃ J₄ Группы Фишера F₂₂ F₂₃ F₂₄ Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Полная линейная GL(n) Ортогональная O(n) Специальная ортогональная SO(n) Унитарная U(n) Специальная унитарная SU(n) Симплектическая Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера Преобразование Фурье

Read other articles:

Pemilihan umum Jepang 2014

Pemilihan umum Jepang 20142012201714 Desember 2014← Perwakilan yang terpilih dalam pemilihan umum Jepang 2012anggota yang terpilih →Semua 475 kursi pada Dewan Perwakilan Jepang238 kursi untuk meraih status mayoritasKandidat Partai pertama Partai kedua Partai ketiga Ketua Shinzō Abe Banri Kaieda Kenji Eda Partai Demokratik Liberal Demokratik Inovasi Ketua sejak 26 September 2012 25 Desember 2012 21 September 2014 Kursi ketua Yamaguchi ke-4 Tokyo ...

Uanda

Historic site in Queensland, AustraliaUanda2015Location27 Clifton Street, Wilston, City of Brisbane, Queensland, AustraliaCoordinates27°26′17″S 153°01′13″E / 27.438°S 153.0202°E / -27.438; 153.0202Design period1919–1930s (interwar period)Built1928ArchitectNellie McCredie Queensland Heritage RegisterOfficial nameUandaTypestate heritage (built, landscape)Designated24 March 2000Reference no.601156Significant period1920s (fabric, historical)Significant ...

Lindsay Mendez

Lindsay Mendez nel 2018 Lindsay Michelle Mendez (Norwalk, 1º marzo 1983) è un'attrice e cantante statunitense, nota soprattutto come interprete di musical. Indice 1 Biografia 2 Teatro (parziale) 3 Filmografia 3.1 Televisione 4 Riconoscimenti 5 Doppiatrici italiane 6 Note 7 Altri progetti 8 Collegamenti esterni Biografia Nata e cresciuta in California in una famiglia di origini messicane, ebraiche e russe, Lindsay Mendez ha esordito a Broadway nel 2007, interpretanto Jan in Grease.[1]...

乌克兰总理

烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/（英文）乌克兰乌克兰政府与政治系列条目宪法政府总统弗拉基米尔·泽连斯基總統辦公室国家安全与国防事务委员会总统代表（英语：Representatives of the President of Ukraine）总...

Ясный (пусковая база)

У этого термина существуют и другие значения, см. Ясный (значения). Космодром Ясный Космодром Ясный. Общий вид. Расположение Россия Руководящий орган Министерство обороны Российской Федерации Космодром Ясный Медиафайлы на Викискладе Ясный — российский космодр�...

The General (1926 film)

1926 silent film The GeneralTheatrical release posterDirected byBuster KeatonClyde BruckmanScreenplay byAl BoasbergClyde BruckmanBuster KeatonCharles SmithBased onThe Great Locomotive Chase1863 memoir Union soldier by William PittengerProduced byJoseph SchenckBuster KeatonStarringBuster KeatonMarion MackCinematographyDevereaux JenningsBert HainesEdited byBuster KeatonSherman KellMusic byWilliam P. Perry (1926)[a]ProductioncompaniesBuster Keaton ProductionsJoseph M. Schenck Productions...

ممثلة الألفية

ممثلة الألفية千年女優 (باليابانية) معلومات عامةالصنف الفني فيلم فنتازيا — فيلم دراما تاريخ الصدور28 يوليو 2001 (2001-07-28) (المهرجان الدولي لفيلم الفنتازيا)14 سبتمبر 2002 (2002-09-14) (اليابان)مدة العرض 87 دقيقةاللغة الأصلية اليابانيةمستوحاة من سيتسوكو هارا — Hideko Takamine ...

Saga Prefectural Saga Technical High School

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Saga Prefectural Saga Technical High School – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2023) (Learn how and when to remove this message)Secondary school in Saga City, Saga Prefecture, JapanSaga Technical High SchoolSaga Technical High school front viewLocationSaga C...

مايك غرانت

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) مايك غرانت معلومات شخصية الميلاد 27 نوفمبر 1873 مونتريال الوفاة 19 أغسطس 1955 (81 سنة) مونتريال مواطنة كندا الحياة العملية المهنة لاعب هوكي الج...

Koloman Moser

Austrian artist (1868–1918) Koloman MoserPhotograph of Koloman Moser (1905)Born30 March 1868Vienna, Austria-HungaryDied18 October 1918(1918-10-18) (aged 50)Vienna, Austria-HungaryEducation1885–1892 Academy of Fine Arts Vienna 1893–1895 Vienna School of Applied Arts (Kunstgewerbeschule)Known forPainting, Drawing, Postage Stamp, Printmaking, Ceramics, Stained glassNotable workfounder of the Wiener Werkstätte, Stained glass of Kirche am SteinhofMovementVienna Secession, Jugendst...

Ballspielverein Borussia 09 Dortmund 1998-1999

Voce principale: Ballspielverein Borussia 09 Dortmund. Ballspielverein Borussia 09 DortmundStagione 1998-1999Sport calcio Squadra Borussia Dortmund Allenatore Michael Skibbe All. in seconda Uwe Neuhaus Bundesliga4º posto Coppa di GermaniaOttavi di finale Maggiori presenzeCampionato: Baumann, Möller, Chapuisat (30)Totale: Chapuisat (33) Miglior marcatoreCampionato: Chapuisat (8)Totale: Chapuisat (8) StadioWestfalenstadion Maggior numero di spettatori69 000 vs. Schalke Minor numero...

畢節市

この項目では、貴州省の地級市について説明しています。同地区にかつて存在した県級市については「七星関区」をご覧ください。この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: 畢節市 – ニュース · 書籍 · スカラー ...

William Weddell

English landowner and politician (1736–1792) William Weddell, portrait by Pompeo Batoni, frequented by many young Englishmen on the Grand Tour Monument to William Weddell, Ripon Cathedral William Weddell (13 May 1736 – 30 April 1792) of Newby Hall in the parish of Skelton-on-Ure, near Ripon in the West Riding of Yorkshire, was a British landowner and politician who sat in the House of Commons between 1766 and 1792. He created a notable collection of antiquities including the Barberini Ven...

كوجي مييوشي

كوجي مييوشي (باليابانية: 三好康児)‏ معلومات شخصية الاسم الكامل كوجي مييوشي الميلاد 26 مارس 1997 (العمر 27 سنة)كاواساكي، كاناغاوا، اليابان الطول 1.68 م (5 قدم 6 بوصة) مركز اللعب لاعب وسط الجنسية اليابان معلومات النادي النادي الحالي رويال أنتويرب الرقم 19 مسيرة الشب...

حذف وزيادة

جزء من سلسلة مقالات حولالنحو والتصريف في العربية الإعراب أقسام الكلام اسم فعل حرف أقسام الجُمَل اسمية فعلية شبه جملة أنواع الكلام من حيث البناء والإعراب مُعرب لفظي تقديري محلي مبني حالات الإعراب رفع نصب جر جزم علامات الإعراب حركات حروف إعراب الجُمل جُمل معربة جُمَل لا محل...

Robert Bartlett (explorer)

Newfoundlander-American explorer (1875–1946) Robert BartlettBorn(1875-08-15)15 August 1875Brigus, Colony of NewfoundlandDied28 April 1946(1946-04-28) (aged 70)New York City, U.S.OccupationsMaritime explorer, navigatorTitleCaptainParentsWilliam James BartlettMary J. LeamonAwardsHubbard MedalCharles P. Daly MedalPeary Polar Expedition Medal Robert Abram Bartlett (August 15, 1875 – April 28, 1946) was a Newfoundland-born American Arctic explorer of the late 19th and early 20th centuries...

Battle of Estrelleta

1845 battle of the Dominican War of Independence Battle of EstrelletaPart of the Dominican War of IndependenceElías Piña ProvinceDate17 September 1845LocationEstrelleta, Elías Piña ProvinceResult Decisive Dominican victoryBelligerents Dominican Republic HaitiCommanders and leaders Gen. Antonio Duvergé Gen. José Joaquín Puello Gen. Jean-Louis PierrotCasualties and losses 3 wounded unknown number of killed & wounded2 artillery pieces capturedvteDominican War of Independence 1844 Fuen...

Musée des Arts Décoratifs et du Design

Museum of Decorative Arts and DesignEstablished1925 : musée d’Art ancien1955 : musée des Arts décoratifsLocation39 rue Bouffard33000 Bordeaux, FranceCollection sizeDecorative arts, DesignVisitors72,052 (2017)Websitemadd-bordeaux.fr/en The Museum of Decorative Arts and Design (French: Musée des Arts décoratifs et du Design) is a French museum located into a former 18th-century Bordeaux aristocratic mansion,[1] which presents today a collection of Decorative arts and f...

Tawsif Mahbub

Bangladeshi actor Tawsif Mahbubতৌসিফ মাহবুবTawsif in 2019BornTawsif Mahbub (1988-10-27) 27 October 1988 (age 35)Bhola, BangladeshNationalityBangladeshiAlma materSt. Joseph Higher Secondary School American International University-BangladeshOccupationTV actorYears active2013–presentSpouse Sumiya Zara (m. 2018)Websitehttps://www.facebook.com/TawsifMahbub Tawsif Mahbub (born 27 October 1988) is a Bangladeshi actor and model wh...

Downtown music

This article is about the style of music. For the publishing company, see Downtown (company). For the record label, see Downtown Records. 112 Chambers Street Downtown music is a subdivision of American music, closely related to experimental music, which developed in downtown Manhattan in the 1960s. History The scene the term describes began in 1960, when Yoko Ono, one of the early Fluxus artists, opened her loft at 112 Chambers Street, in a part of Lower Manhattan later named Tribeca, to be u...

/profillengkap.com/index.php/article/Bernard M. Oliver

/profillengkap.com/index.php/article/Eagarville, Illinois

/profillengkap.com/index.php/article/Mason Mount

/profillengkap.com/index.php/article/1993–94 Ekstraklasa

1889–90 Sheffield United F.C. season

Batlayar

Francesco Mulè

Claudio Amendola

Banyu Tajun Hilir, Sungai Pandan, Hulu Sungai Utara

Pro Evolution Soccer 2

Angkatan Darat Revolusioner Prancis

Kabupaten Garut Utara