PROFILPELAJAR.COM

$D$ -матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение $D$ -матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.

Определение D-матрицы Вигнера

Пусть $J_{x}$ , $J_{y}$ , $J_{z}$ образующие алгебры Ли $\mathrm {SU} (2)$ и $\mathrm {SO} (3)$ . В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям

[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},

где $i$ это чисто мнимое число и постоянная Планка $\hbar$ был задана равной единице. Оператор

J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}

является оператором Казимира из $\mathrm {SU} (2)$ (или $\mathrm {SO} (3)$ , в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с $J_{z}$ (Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с $J^{2}$ . То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с

J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,

где $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ и $m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j$ . Для $\mathrm {SO} (3)$ квантовое число $j$ является целым.

Оператор поворота можно записать в виде

{\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\alpha J_{z}},

где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ — углы Эйлера.

$D$ -матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности $2j+1$ с общим элементом

D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.

Матрица с общим элементом

d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle

известна как малая $d$ -матрица Вигнера.

Список элементов d-матрицы

для $j=1/2$

$d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
$d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

для $j=1$

$d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$
$d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}$
$d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}$
$d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

для $j=3/2$

$d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
$d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$
$d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
$d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$
$d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
$d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$

для $j=2$ ^[1]

$d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
$d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
$d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta$
$d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
$d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
$d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
$d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta$
$d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
$d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Элементы $d$ -матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:

d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m'}^{j}

.

См. также

Коэффициенты Клебша — Гордана

Примечания

↑ Edén, M. Computer simulations in solid-state NMR. I. Spin dynamics theory (англ.) // Concepts Magn. Reson. : journal. — 2003. — Vol. 17A, no. 1. — P. 117—154. — doi:10.1002/cmr.a.10061.