PROFILPELAJAR.COM

Простое число Софи́ Жерме́н — такое простое число $p$ , что число $2p+1$ также простое. Число $2p+1$ , связанное с простым числом Софи Жермен, называется безопасным простым числом. Например, 11 — это простое число Софи Жермен, а 2 × 11 + 1 = 23 — связанное с ним безопасное простое число.

Как и для простых чисел-близнецов, предполагается, что количество простых Софи Жермен бесконечно, но это открытый вопрос теории чисел.

Названы по имени Софи Жермен, которая доказала Великую теорему Ферма для показателей, являющихся простыми этого вида — только в этом случае показатель не делит ни одну из переменных основного уравнения Великой теоремы Ферма.

Первые несколько простых чисел Софи Жермен (меньше 1000) равны:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, ... (последовательность A005384)

Следовательно, первые несколько безопасных простых чисел равны:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ... (последовательность A005385)

В криптографии требуются гораздо большие простые числа Софи Жермен, такие как 1 846 389 521 368 + 11⁶⁰⁰.

Наибольшее известное простое число Софи Жермен:

На 2016 год рекордом является число 2 618 163 402 417·2^1 290 000 − 1 длиной 388 342 десятичные цифры. Его обнаружил Джеймс Скотт Браун, профессор Университета Майами, участник сообщества PrimeGrid. PrimeGrid с 2009 года ведет активный поиск таких простых чисел в одном из своих подпроектов. Но, хотя найденные ими новые простые числа вида k·2^1 290 000 − 1 и анонсируются практически ежедневно, нахождение парного простого числа (k·2^1 290 001 − 1), необходимого для установления нового рекорда, занимает годы.

Значение	Число цифр	Время открытия	Исследователь
2618163402417 × 2^1290000 − 1	388342	Февраль 2016	Джеймс Скотт Браун в PrimeGrid используя программу TwinGen и LLR^[1]
18543637900515 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ − 1	200701	Апрель 2012	Philipp Bliedung в PrimeGrid используя программу TwinGen и LLR^[2]
183027 × 2²⁶⁵⁴⁴⁰ − 1	79911	Март 2010	Tom Wu используя LLR^[3]
648621027630345 × 2²⁵³⁸²⁴ − 1 и 620366307356565 × 2²⁵³⁸²⁴ − 1	76424	Ноябрь 2009	Zoltán Járai, Gábor Farkas, Tímea Csajbók, János Kasza и Antal Járai^[4]^[5]
1068669447 × 2²¹¹⁰⁸⁸ − 1	63553	Май 2020	Michael Kwok^[6]
99064503957 × 2²⁰⁰⁰⁰⁸ − 1	60220	Апрель 2016	S. Urushihata^[7]
607095 × 2¹⁷⁶³¹¹ − 1	53081	Сентябрь 2009	Tom Wu^[8]
48047305725 × 2¹⁷²⁴⁰³ − 1	51910	Январь 2007	David Underbakke используя TwinGen и LLR^[9]
137211941292195 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰ − 1	51780	Май 2006	Járai и др.^[10]

2 декабря 2019 года Фабрис Будо, Пьеррик Годри, Аврора Гильевич, Надя Хенингер, Эммануэль Томе и Пол Циммерманн объявили о вычислении дискретного логарифма по модулю 240 (795-битного) простого числа RSA-240 + 49204 (первое безопасное простое число больше RSA-240) с использованием алгоритма решета числового поля.