Начальный участок улицы был застроен в конце XIX — начале XX века. Здание окружного суда (1870-е) выстроено в классическом стиле, институт акушерства (начало XX века) — в стиле модерн.
В 1930-е годы улица была продлена и на пересечении с проложенной новой улицей (прокоп Челюскинцев) к новому мосту через Куру образована Площадь Героев.
В 1936 году на примыкающей к улице территории разбит парк имени Кирова (ныне — парк Вере). Вместо построенного в 1928 году жилого дома в псевдогрузинском стиле (архитектор В. Якубович) в 1971 году возведено здание концертного зала Тбилисской филармонии (архитектор И. Чхенкели)[2].
Современное название в честь Мераба Коставы (1939—1989) — грузинского диссидента, музыканта и поэта, одного из лидеров движения за отделение Грузии от СССР в конце 1980-х гг.