Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя^{[~ 1]} — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

Обе эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.

Ещё в начале XX века Давид Гильберт провозгласил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел. 7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе 24-летний Курт Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть простыми (финитными) средствами, предусмотренными Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно^[6].

Это выступление не было заявлено заранее и произвело ошеломляющий эффект, Гёдель сразу стал всемирной знаменитостью, а программа Гильберта по формализации основ математики потребовала срочного пересмотра. 23 октября 1930 года результаты Гёделя были представлены Венской академии наук Хансом Ханом. Статья с обеими теоремами («О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах») была опубликована в научном ежемесячнике Monatshefte für Mathematik und Physik в 1931 году. Хотя доказательство второй теоремы Гёдель дал только в виде идеи, его результат был настолько ясен и неоспорим, что не вызвал сомнений ни у кого. Гильберт сразу признал ценность открытий Гёделя. Первые полные доказательства обеих теорем были опубликованы в книге Гильберта и Бернайса «Основания математики» в 1938 году. В предисловии ко второму тому авторы признали, что для достижения поставленной цели финитных методов недостаточно, и добавили в число логических средств трансфинитную индукцию. В 1936 году Герхард Генцен сумел доказать^[англ.] непротиворечивость аксиом арифметики первого порядка, однако логическая полнота так и осталась недостижимой^[6].

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ω-непротиворечивой, если для всякой формулы A(x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А(0), А(1), А(2), … и ∃x ¬A(x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формула A(n), следует невыводимость формулы ∃x ¬A(x)). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечёт простую непротиворечивость (то есть любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива)^[7].

В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что^[7]:

Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. Таким образом, если система S ω-непротиворечива, то она неполна^{[~ 2]} и A служит примером неразрешимой формулы.

Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой^[8].

В стандартной интерпретации^{[~ 3]} формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима^[9].

В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что^[10]:

Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна^{[~ 2]}, и B служит примером неразрешимой формулы.

Формулу B иногда называют россеровой неразрешимой формулой^[11]. Эта формула немного сложнее гёделевой.

В стандартной интерпретации^{[~ 3]} формула B означает «если существует вывод формулы B, то существует вывод формулы ¬B». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула B в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула B верна в стандартной интерпретации^[12].

Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки^[13]:

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.

В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.

После того как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества, и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме^{[14][15][16][17]}:

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}&(elg^{2}+\alpha -(b-xy)q^{2})^{2}+(q-b^{5^{60}})^{2}+(\lambda +q^{4}-1-\lambda b^{5})^{2}+\\&(\theta +2z-b^{5})^{2}+(u+t\theta -l)^{2}+(y+m\theta -e)^{2}+(n-q^{16})^{2}+\\&((g+eq^{3}+lq^{5}+(2(e-z\lambda )(1+xb^{5}+g)^{4}+\lambda b^{5}+\lambda b^{5}q^{4})q^{4})(n^{2}-n)+\\&(q^{3}-bl+l+\theta \lambda q^{3}+(b^{5}-2)q^{5})(n^{2}-1)-r)^{2}+\\&(p-2ws^{2}r^{2}n^{2})^{2}+(p^{2}k^{2}-k^{2}+1-\tau ^{2})^{2}+\\&(4(c-ksn^{2})^{2}+\eta -k^{2})^{2}+(r+1+hp-h-k)^{2}+\\&(a-(wn^{2}+1)rsn^{2})^{2}+(2r+1+\phi -c)^{2}+\\&(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^{2}+\\&((a^{2}-1)c^{2}+1-d^{2})^{2}+((a^{2}-1)i^{2}c^{4}+1-f^{2})^{2}+\\&(((a+f^{2}(d^{2}-a))^{2}-1)(2r+1+jc)^{2}+1-(d+of)^{2})^{2}+\\&(((z+u+y)^{2}+u)^{2}+y-K)^{2}=0\end{aligned}}}$

не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.

Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства^[18], который приведён ниже с незначительными изменениями.

Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы^{[~ 4]} S поставим в соответствие определённое натуральное число^{[~ 5]}. Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу F(v) в S с одной свободной натурально-числовой переменной v такую, что F(v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n-е через R(n), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения R можно определить в системе S. Пусть α — произвольное класс-выражение; через [α;n] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [y;z] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс K натуральных чисел следующим образом:

n∈K ≡ ¬Bew[R(n);n] (*)

(где Bew x означает: x — выводимая формула^{[~ 6]}). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия K, которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение C, что формула [C;n], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, C идентично некоторому определённому R(q) в нашей нумерации, то есть

C = R(q)

выполняется для некоторого определённого натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [R(q);q] неразрешимо в S. Так, если предложение [R(q);q] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), будет выполнено ¬Bew[R(q);q], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [R(q);q], то будет иметь место ¬q∈K, то есть Bew[R(q);q] будет истинным. Следовательно, [R(q);q] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

В стандартной интерпретации^{[~ 3]} гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс^[19].

Выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение»^[19].

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации^{[~ 3]} является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.

Сначала строится формула Con, содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с её отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой Con ⊃ G, где G — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула Con ⊃ G. Отсюда, если в S выводима Con, то в ней выводима и G. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con.

Специалисты дают самые разные, иногда даже полярные оценки исторической значимости теорем Гёделя. Часть учёных считает, что эти теоремы «перевернули» основания математики или даже всю теорию познания, и значение гениального открытия Гёделя будет постепенно открываться ещё долгое время^[20]. Другие же (например, Бертран Рассел) призывают не преувеличивать, поскольку теоремы опираются на финитный формализм Гильберта^[21][22].

Вопреки распространённому заблуждению, теоремы о неполноте Гёделя не предполагают, что некоторые истины так и останутся навеки непознанными. Кроме того, из этих теорем не следует, что человеческие способности к познанию так или иначе ограничены. Нет, теоремы всего лишь показывают слабости и недостатки формальных систем^[23].

Рассмотрим, например, следующее доказательство непротиворечивости арифметики^[24].

Допустим, что аксиоматика Пеано для арифметики противоречива. Тогда из неё можно вывести любое утверждение, в том числе ложное. Однако все аксиомы Пеано очевидным образом истинны, а из истинных утверждений не может следовать ложный вывод — получаем противоречие. Следовательно, арифметика непротиворечива.

С точки зрения повседневной человеческой логики, это доказательство приемлемо и убедительно. Но оно не может быть записано по правилам теории доказательств Гильберта, поскольку в этих правилах семантика заменена на синтаксис, а истинность — на «выводимость»^[24]. В любом случае теоремы Гёделя подняли философию математики на новый уровень.

Комментарии

Источники

• Бирюков Б. В., Тростников В. Н. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 232 с. — ISBN 5-354-00310-5.
• Ершов Ю. Л. Доказательность в математике, программа А. Гордона от 16 июня 2003 года.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.
• Клини Стефен Коул. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957. — 526 с.
• Клини Стефен Коул. Математическая логика. — М.: «Мир», 1973. — 480 с.
• Кордонский М. Конец истины. — ISBN 5-946448-001-04.
• Коэн П. Дж. Об основаниях теории множеств // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, № 5(179). — С. 169–176.
• Мендельсон Эллиот. Введение в математическую логику. — М.: «Наука», 1971. — 320 с.
• Паршин А. Н. Размышления над теоремой Гёделя // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2000. — № 40 (5). — С. 26—55.
• Пиньейро Г. Э. У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — Вып. 17. — ISSN 2409-0069.
• Сосинский А. Б. Теорема Геделя // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006.
• Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982. — 110 с. — (Популярные лекции по математике).
• Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Davis, Martin (ed.). The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions. — New York: Raven Press, 1965. — 440 p.
• Heijenoort, Jean van (ed.). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. — Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967. — 660 p.

• Музыкантский А. Теория противоречивости бытия  (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2017.

• 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173—198.
• 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. and On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I in Solomon Feferman, ed., 1986. Kurt Gödel Collected works, Vol. I. Oxford University Press: 144—195. — Оригинальный немецкий текст с параллельным английским переводом, с элементарным введением, написанным Стивеном Клини.
• Hirzel, Martin, 2000, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I.. — Современный перевод Марина Херцеля.
• 1951, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications in Solomon Feferman, ed., 1995. Kurt Gödel Collected works, Vol. III. Oxford University Press: 304—323.