Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо . Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле [ 1]
Стационарное осесимметричное динамо невозможно.
В осесимметричном поле существует линия O -типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.
B
=
1
r
3
{\displaystyle B={\frac {1}{r^{3}}}}
Пусть поле линейно растет с увеличением R
(
r
o
t
B
→ → -->
)
φ φ -->
=
∂ ∂ -->
B
r
∂ ∂ -->
z
− − -->
∂ ∂ -->
B
z
∂ ∂ -->
r
≠ ≠ -->
0
,
j
→ → -->
φ φ -->
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle (\mathrm {rot} {\vec {B}})_{\varphi }={\frac {\partial B_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\neq 0,\ {\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}
∮ ∮ -->
O
j
→ → -->
φ φ -->
d
l
→ → -->
=
2
π π -->
R
j
→ → -->
φ φ -->
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=2\pi R{\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}
∮ ∮ -->
O
j
→ → -->
φ φ -->
d
l
→ → -->
=
σ σ -->
∮ ∮ -->
O
[
E
→ → -->
+
v
→ → -->
× × -->
B
→ → -->
c
]
d
l
→ → -->
{\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}\left[{\vec {E}}+{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {B}}}{c}}\right]\,{\vec {dl}}}
Пусть
[
v
→ → -->
× × -->
B
→ → -->
]
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\neq 0}
v
z
B
φ φ -->
− − -->
v
φ φ -->
B
z
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle v_{z}B_{\varphi }-v_{\varphi }B_{z}\neq 0}
O и
v
φ φ -->
{\displaystyle v_{\varphi }}
B
z
{\displaystyle B_{z}}
[
v
→ → -->
× × -->
B
→ → -->
]
=
0
{\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]=0}
∮ ∮ -->
O
j
→ → -->
φ φ -->
d
l
→ → -->
=
σ σ -->
∮ ∮ -->
O
E
→ → -->
d
l
→ → -->
=
σ σ -->
∫ ∫ -->
r
o
t
E
→ → -->
d
s
→ → -->
=
− − -->
σ σ -->
c
∫ ∫ -->
∂ ∂ -->
B
→ → -->
∂ ∂ -->
t
d
s
→ → -->
=
− − -->
σ σ -->
c
d
Φ Φ -->
d
t
{\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}{\vec {E}}\,{\vec {dl}}=\sigma \int \mathrm {rot} {\vec {E}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}}
где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:
Φ Φ -->
=
∫ ∫ -->
0
R
2
π π -->
r
B
z
d
r
{\displaystyle \Phi =\int \limits _{0}^{R}2\pi rB_{z}\,dr}
Таким образом, имеем неравенство
d
Φ Φ -->
d
t
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle {\frac {d\Phi }{dt}}\neq 0}
то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О , откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.
Рассмотрим тороидальное магнитное поле
B
φ φ -->
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle B_{\varphi }\neq 0}
d
d
t
(
B
φ φ -->
r
ρ ρ -->
)
=
c
2
4
π π -->
σ σ -->
ρ ρ -->
r
{
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
r
[
1
r
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
r
(
r
B
φ φ -->
)
]
+
∂ ∂ -->
2
B
φ φ -->
∂ ∂ -->
z
2
}
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {B_{\varphi }}{r\rho }}\right)={\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\varphi }\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}B_{\varphi }}{\partial z^{2}}}\right\}}
где
c
2
4
π π -->
σ σ -->
ρ ρ -->
r
{\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}}
Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.
Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:
![{\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}\left[{\vec {E}}+{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {B}}}{c}}\right]\,{\vec {dl}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0efeb087abaa636936b485b45d7e7cf1df08548)
![{\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a28260933cf1be2bba8b0b0793cc8c3616329f8)
![{\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521b95eb7390e5eddc69a0415ad4a0681b225872)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {B_{\varphi }}{r\rho }}\right)={\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\varphi }\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}B_{\varphi }}{\partial z^{2}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557dd2db6359a17b54ab26f270c2de656cfd8cc5)
