Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}}$ нечётные натуральные числа, а ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ однородные многочлены с коэффициентами из K степени ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}}$ соответственно от n переменных. Тогда существует число ${\displaystyle \psi (r_{1},\dots ,r_{k},l,K)}$, такое что при

${\displaystyle n\geqslant \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)}$

существует l-мерное векторное подпространство V в Kⁿ, такое что

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ для всех }}x\in V.}$

Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$. Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения кругового метода Харди – Литлвуда^[англ.], теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение

${\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\ldots ,n}$

имеет решение в целых числах ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, в котором не все переменные равны 0.

Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Проверить статью на грамматические, орфографические и пунктуационные ошибки. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.