Радиальная базисная функция (РБФ) — функция из набора однотипных радиальных функций, используемых как функция активации в одном слое искусственной нейронной сети или как-либо ещё, в зависимости от контекста. Радиальная функция[англ.] — это любая вещественная функция, значение которой зависит только от расстояния до начала координат ϕ ϕ --> ( x ) = ϕ ϕ --> ( ‖ x ‖ ) {\displaystyle \phi \left(\mathbf {x} \right)=\phi \left(\left\|\mathbf {x} \right\|\right)} или от расстояния между некоторой другой точкой c {\displaystyle \mathbf {c} } , называемой центром: ϕ ϕ --> ( x , c ) = ϕ ϕ --> ( ‖ x − − --> c ‖ ) {\displaystyle \phi \left(\mathbf {x} ,\mathbf {c} \right)=\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|\right)} . В качестве нормы обычно выступает евклидово расстояние, хотя можно использовать и другие метрики.
Линейные комбинации радиальных базисных функций также можно использовать для аппроксимации заданной функции. Аппроксимация может быть интерпретирована как простейшая разновидность нейронной сети; именно в этом контексте радиальные базисные функции были впервые определены в работе Дэвида Брумхэда и Дэвид Лоу в 1988 году[1][2], основанной на фундаментальной работе Майкла Пауэлла 1977 года[3][4][5].
Радиальные базисные функции также используются в качестве ядра в методе опорных векторов.[6]
Часто используемые радиально-базисные функций включают в себя ( r = ‖ x − − --> x i ‖ {\displaystyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|} ):
Для аппроксимации функций с помощью радиальных базисных функций обычно берётся их линейная комбинация вида:
где в качестве аппроксимирующей функции y ( x ) {\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)} берётся сумма N {\displaystyle N} радиальных базисных функций с центрами в точках x i {\displaystyle \mathbf {x} _{i}} и коэффициентами w i {\displaystyle w_{i}} . Коэффициенты можно вычислить с помощью метода наименьших квадратов, поскольку аппроксимирующая функция является линейной по отношению к коэффициентам w i {\displaystyle w_{i}} .
Аппроксимационные схемы такого рода особенно полезны[источник не указан 2284 дня] в прогнозировании временных рядов, управлении нелинейных систем, демонстрирующих достаточно простое хаотическое поведение, и 3D-моделировании в компьютерной графике.
Линейная комбинация:
также может быть интерпретирована как простейшая искусственная нейронная сеть с одним слоем, называемая сетью радиально-базисных функций, в которой радиальная базисная функция исполняет роль функции активации. Можно показать, что любая непрерывная функция на компактном интервале в принципе может быть интерполирована с произвольной точностью при достаточно большом N {\displaystyle N} .
Аппроксимации y ( x ) {\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)} является дифференцируемой по w i {\displaystyle w_{i}} . Коэффициенты можно вычислить при помощи любого стандартного итерационного метода для нейронных сетей.
Таким образом, радиальные базисные функции предоставляют собой гибкий инструмент интерполирования при условии, что множество центров более-менее равномерно покрывает область определения искомой функции (в идеале центры должны быть равноудалены от ближайших соседей). Тем не менее, как правило в промежуточных точках аппроксимация достигает высокой точности только если множество радиальных базисных функций дополнено полиномом, ортогональным к каждой из РБФ.
Radial basis functions were first introduced by Powell to solve the real multivariate interpolation problem.
{{citation}}
|ISBN=
|isbn=
Lokasi Pengunjung: 3.12.34.118