PROFILPELAJAR.COM

Поляриза́ция в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли методом орбит^[англ.], а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли, ${\mathfrak {g}}$ — её алгебра Ли, ${\mathfrak {g}}^{*}$ — сопряжённое к ${\mathfrak {g}}$ пространство. Посредством $\langle f,\,X\rangle$ обозначим значение линейного функционала (ковектора) $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ на векторе $X\in {\mathfrak {g}}$ . Подалгебра ${\mathfrak {h}}$ алгебры ${\mathfrak {g}}$ называется подчинённой ковектору $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ , если выполняется условие

\langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h}}

,

или, более коротко,

\langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0

.

Пусть, далее, группа $G$ действует на пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ коприсоединённым представлением $\mathrm {Ad} ^{*}$ . Обозначим посредством ${\mathcal {O}}_{f}$ орбиту этого действия, проходящую через точку $f$ , а ${\mathfrak {g}}^{f}$ — алгебру Ли группы $\mathrm {Stab} (f)$ — стабилизатора точки $f$ . Подалгебра ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ , подчинённая функционалу $f$ , называется поляризацией алгебры ${\mathfrak {g}}$ относительно $f$ , или, короче, поляризацией ковектора $f$ , если она имеет максимально возможную размерность, а именно

\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}

^[1]^[2].

Условие Пуканского

Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским^[3].

Пусть ${\mathfrak {h}}$ — поляризация, соответствующая ковектору $f$ , ${\mathfrak {h}}^{\perp }$ — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$ , значение которых на ${\mathfrak {h}}$ равно нулю: ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}$ . Поляризация ${\mathfrak {h}}$ называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского:

f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}

.

(1)

Л. Пуканский показал, что условие (1) гарантирует применимость метода орбит^[англ.] А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп^[4].

Свойства

Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ ^[1]^[2].
Поляризация существует не для всякой пары $({\mathfrak {g}},\,f)$ ^[1]^[2].
Если для функционала $f$ существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты ${\mathcal {O}}_{f}$ , причём если ${\mathfrak {h}}$ — поляризация для $f$ , то $\mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}$ — поляризация для $\mathrm {Ad} _{g}^{*}f$ . Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом^[1].
Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ ^[2].
Если ${\mathcal {O}}$ — орбита общего положения, то относительно каждой её точки для любой алгебры Ли имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой^[2].
Если для орбиты ${\mathcal {O}}$ существует поляризация, то вложение ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ может быть реализовано функциями $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$ , линейными по $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ переменным $p$ , где $(q,\,p)$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ${\mathcal {O}}$ .^[5]^[6].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Ж. Диксмье. Универсальные обёртывающие алгебры. — М.: Мир, 1978. — 407 с.
↑ J. Dixmier, M. Duflo, A. Hajnal, R. Kadison, A. Korányi, J. Rosenberg and Michèle Vergne. Lajos Pukánszky (1928 – 1996) (англ.) // Notices of the American Mathematical Society. — 1998. — April (vol. 45, no. 4). — P. 492 — 499. — ISSN 1088-9477. Архивировано 25 апреля 2021 года.
↑ L. Pukanszky. On the theory of exponential groups (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1967. — March (vol. 126). — P. 487 — 507. — ISSN 1088-6850. — doi:10.1090/S0002-9947-1967-0209403-7. Архивировано 26 июля 2018 года.
↑ С. П. Барановский, И. В. Широков. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2009. — Июль — август (т. 50, № 4). — С. 737 — 745. — ISSN 0037-4474.
↑ Do Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (англ.) // arXiv.org. — 2000. — May. — P. 1 — 27. — ISSN 2331-8422. Архивировано 28 ноября 2019 года.