Поликру́г (англ. polydisc) — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар^[1].

Синонимы: полидиск; полицилиндр; шар в поликруговой метрике; шар в ${\displaystyle \rho }$-метрике^[1][2][3].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[3].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[4][3].

Поликруг радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — множество точек ${\displaystyle z}$ комплексного пространства ${\displaystyle C^{n}}$ произвольной размерности ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Delta (z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \|z-z_{0}\|<r\}=}$

${\displaystyle =\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon {\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$^[1][5].

Так определённый поликруг — это шар с центром ${\displaystyle z_{0}}$ в поликруговой ${\displaystyle \rho }$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение ${\displaystyle n}$ плоских кругов

${\displaystyle \Delta (z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),}$

${\displaystyle \Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

радиуса ${\displaystyle r}$ с центрами в точках ${\displaystyle z_{0k}}$^[1].

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса, ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — это множество точек

${\displaystyle \Delta (z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$^[1][2][3].

В общем случае поликруг есть геометрически топологическое произведение ${\displaystyle n}$ плоских кругов с разными радиусами ${\displaystyle r_{k}}$ и одним центром ${\displaystyle z_{0}}$^[3]:

${\displaystyle \Delta (z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),}$

${\displaystyle \Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть ${\displaystyle z_{0}=0}$, и единичным радиусом, то есть ${\displaystyle r=1}$^[3].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[3].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[4][3].

Граница поликруга — множество ${\displaystyle \partial \Delta }$ всех точек, обладающих следующими двумя свойствами^[1]:

• хотя бы одна координата ${\displaystyle z_{k}}$ принадлежит границе ${\displaystyle k}$-го круга;
• остальные координаты ${\displaystyle z_{l},\,l\neq k,}$ имеют произвольные значения в замкнутых кругах.

Граница ${\displaystyle \partial \Delta }$ поликруга ${\displaystyle \Delta }$ состоит естественным образом из ${\displaystyle n}$ множеств

${\displaystyle \Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,|z_{l}-z_{0l}|\leqslant r_{l},\,l\neq k\}}$

размерности ${\displaystyle 2n-1}$, поскольку на ${\displaystyle 2n}$ координат любой точки ${\displaystyle z}$ накладывается одно вещественное условие ${\displaystyle |z_{k}-z_{0k}|=r_{k}}$. Следовательно, и вся граница ${\displaystyle \partial \Delta =\bigcup _{k=1}^{n}\Gamma _{k}}$ поликруга ${\displaystyle (2n-1)}$-мерна^[1].

Остов поликруга — ${\displaystyle n}$ мерное пересечение всех множеств границы поликруга ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle \Gamma =\partial \Delta _{1}\times \partial \Delta _{2}\times \cdots \times \partial \Delta _{n}=}$

${\displaystyle =\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

которое представляет собой топологическое произведение ${\displaystyle n}$ окружностей^[1][3][2].

Бикруг (англ. duocylinder; double cylinder; bidisc) — поликруг размерности 2. Рассмотрим бикруг радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат и единичным радиусом, определяемый следующим выражением^[1]:

${\displaystyle \Delta =\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|<1,\,|z_{2}|<1\}}$.

Бикруг есть четырёхмерное тело, получающееся как пересечение двух цилиндров

${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}<1,\quad }$ ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}<1,}$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным^[6].

Граница такого бикруга есть трёхмерное тело ${\displaystyle \partial \Delta =\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$, причём

${\displaystyle \Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\}}$

тоже трёхмерное тело, которое можно представить в виде расслоения в однопараметрическое семейство кругов:

${\displaystyle \Gamma _{1}=\bigcup _{\theta =0}^{2\pi }\{z_{1}=e^{i\theta },\,|z_{2}|\leqslant 1\},}$

а для тела ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ всё аналогично^[6].

Двумерный остов бикруга ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}}$ есть тор

${\displaystyle \Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\}}$^[6].

Действительно, рассмотрим отображение

${\displaystyle z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,z_{2}=e^{i\theta _{2}},}$

которое голоморфно преобразует на двумерный остов ${\displaystyle \Gamma }$ некоторый квадрат

${\displaystyle \{0\leqslant \theta _{1}\leqslant 2\pi ,\,0\leqslant \theta _{2}\leqslant 2\pi \},}$

у которого, поскольку ${\displaystyle e^{i(\theta _{k}+2\pi )}=e^{i\theta _{k}}}$, отождествлены противоположные стороны, как показано на рисунке справа, то есть из квадрата склеен тор^[6].

Этот тор ${\displaystyle \Gamma }$, как и граница бикруга, расслаивается на два однопараметрические семейства в данном случае окружностей

${\displaystyle \{z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,|z_{2}|=1\},\quad \{z_{1}=1,\,|z_{2}|=e^{i\theta _{2}}\},}$

${\displaystyle 0\leqslant \theta _{1},\,\theta _{2}<2\pi ,}$

и на рисунке справа показано по одному представителю этих двух семейств^[6].

Также тор ${\displaystyle \Gamma }$ есть двумерная поверхность, получающаяся как пересечение поверхностей двух трёхмерных цилиндров

${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}=1,\quad }$ ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=1,}$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным, и расположенная в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ на трёхмерной сфере

${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}+(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=2}$^[6].

Один из способов геометрического представления бикруга следующий^[7]:

1) выбираем в двумерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ трёхмерную сферу

${\displaystyle \{|z|={\sqrt {2}}\};}$

2) на сфере фиксируем двумерный тор

${\displaystyle \Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\};}$

3) на тор натягиваем два трёхмерных тела

${\displaystyle \Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\},\quad }$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\{|z_{1}|\leqslant 1,\,|z_{2}|=1\},}$

которые лежат в шаровом слое

${\displaystyle \{1\leqslant |z|\leqslant {\sqrt {2}}\};}$

4) объединение ${\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$ этих двух трёхмерных тел ограничивает бикруг.

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[3].

Полиобласть (англ. polydomain) ${\displaystyle D=D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}$ — топологическое произведение ${\displaystyle n}$ следующих в общем случае плоских многосвязных областей^[3][4]:

${\displaystyle D_{k}\subset \mathbb {C} ,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Синонимы: полигрупповая область; обобщённый полицилиндр^[3]; полицилиндрическая область^[4].

Если все плоские области ${\displaystyle D_{k}}$ односвязны, то в этом случае полиобласть ${\displaystyle D}$ гомеоморфна шагу^[4].

Граница ${\displaystyle \partial D}$ полиобласти ${\displaystyle D}$ состоит естественным образом из ${\displaystyle n}$ множеств

${\displaystyle \Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,z_{l}\in {\overline {D_{l}}},\,l\neq k\},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

размерности ${\displaystyle 2n-1}$^[3][4].

Остов полиобласти ${\displaystyle D}$ — ${\displaystyle n}$ мерное пересечение всех множеств ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle \Gamma =\partial D_{1}\times \partial D_{2}\times \cdots \times \partial D_{n}=}$

${\displaystyle =\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

которое представляет собой топологическое произведение ${\displaystyle n}$ областей^[3][4].

• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Соломенцев Е. Д. Поликруг // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 405—406.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.

Статья является кандидатом в добротные статьи с 6 января 2025.