PROFILPELAJAR.COM

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1]^[2]^[3].

Определение

Пусть на множестве $X$ задана функция $f$ , которая отображает множество $X$ в $Y$ , то есть: $f:X\to Y$ . Тогда областью (или множеством) значений функции $f$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества $Y$ и обозначается $f(X)$ , $E(f)$ , $R(f)$ или $\mathrm {ran} \,f$ (от англ. range):

f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}

.

Способы нахождения областей значений некоторых функций

последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
метод оценок;
использование свойств непрерывности и монотонности функции;
использование производной;
использование наибольшего и наименьшего значений функции;
графический метод;
метод введения параметра;
метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество $Y$ в обозначении функции $f:X\to Y$ ^[4], а множеством значений функции называется совокупность всех значений $f(X)$ функции $f$ .

Множество значений $f(X)$ называется также образом множества $X$ при отображении $f$ .

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции^[3].

См. также

Область определения функции

Примечания

↑ У. Рудин. Основы математического анализа.. — М.: Мир, 1976. — С. 32. — 318 с.
↑ В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I.. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
↑ ¹ ² В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. — М.: МГУ, 1985. — С. 66, 106, 450. — 720 с.
↑ Г. Е. Шилов. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1 — 2. — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.

Литература

Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.