Мезоскопи́ческая фи́зика (мезоско́пика^[1]; от др.-греч. mesos – промежуточный и англ. scoрe – сфера действия^[2]) — раздел физики конденсированных сред, в котором рассматриваются свойства систем на масштабах промежуточных между макроскопическим и микроскопическим. Термин ввёл в 1981 году датский физик Ван Кампен^{[англ.][3][К 1]}. Многие законы, полученные в макроскопической физике, неприменимы в области мезоскопических размеров, например последовательно соединённые сопротивления нельзя вычислить суммированием отдельных сопротивлений, а следует учитывать квантовые эффекты. Именно мезоскопические размеры накладывают ограничения на классический транспорт в полупроводниках^[3]. Мезоскопика возникла в 80-х годах XX века как ответ на технологический прогресс микро- и нанолитографии, роста монокристаллов, а также инструментов типа сканирующего туннельного микроскопа, позволяющего проводить измерения на атомарном уровне^[4].

Под микроскопическим масштабом понимают размеры, сравнимые с размерами одного атома или с длиной одной химической связи, то есть с боровским радиусом. Под макроскопическим понимают масштаб, при котором из-за неупругих столкновений теряется квантовая когерентность или фазовая когерентность — то есть становится невозможной интерференция траекторий частиц. Это происходит из-за неупругих столкновений носителей, например при рассеянии на фононах или точечных дефектов, что сбивают фазу волновой функции. Этот размер характеризуется длиной сбоя фазы и играет роль характерного масштаба при рассмотрении эффектов, которые приводят к поправкам к проводимости, где важна интерференция, таким как слабая локализация➤, универсальные флуктуации проводимости➤, эффект Ааронова — Бома➤. Одна из задач мезоскопики заключается в учёте таких интерференционных членов в проводимости макроскопических образцов^[5].

С точки зрения транспорта в структурах под микроскопическим масштабом следует понимать всякий размер меньше длины свободного пробега носителей тока. Стоит учитывать, что если система обладает макроскопической когерентностью, то это тоже мезоскопическая система, как в случае сверхпроводников^[6]. Топологически защищённые состояния, как в случае квантового эффекта Холла, которые можно наблюдать даже при комнатной температуре в графене, тоже мезоскопическая система. Соответственно, мезоскопическая физика изучает явления сильной и слабой локализации, туннелирования и прыжковой проводимости. Мезоскопическими являются такие системы, свойства которых определяются поведением одной квазичастицы^[7].

Границы макроскопической области существенно зависят от температуры и характера движения частиц (является ли он баллистическим или диффузионным➤).

Согласно этому определению к мезоскопической физике относятся не только явления в устройствах с мезоскопическими размерами, но и явления в макроскопических устройствах, которые происходят на мезоскопических масштабах, то есть определяются интерференцией. Например, к задачам мезоскопической физики относят нахождение квантовых поправок к сопротивлению макроскопических образцов^[5].

Квантовая когерентность — основное понятие мезоскопической физики, которое определяется для слабовзаимодействующих квазичастиц в мезоскопических системах движущихся в самосогласованном поле. Оно характеризуется временем фазовой когерентности, связанным с длиной фазовой когерентности, которая типично много больше расстояния между атомами. Длина фазовой когерентности увеличивается при уменьшении температуры, и уменьшается при увеличении количества дефектов в системе. Именно эта длина, которая оказывается порядка размеров изучаемой системы характеризует наличие мезоскопического транспорта в системе^[8]. В мезоскопике электронный транспорт описывается в формализме Ландауэра — Бюттикера, который позволяет ответить на вопрос о линейной проводимости или просто проводимости многоконтактных (двухконтактный образец, холловский мост, ван дер Пау геометрия) образцов. Тип контактов (омические, туннельные) приобретает важное значение при изучении транспорта в мезоскопических образцах. Например, при достаточно малого размера островка и двух туннельных контактов влияние кулоновского взаимодействия приводит к эффекту кулоновской блокады, когда в проводящей системе ток не может течь пока электрон не покинет островок. Если островок имеет размер много больший фермиевской длине волны и много меньше, чем длина свободного пробега возникает транспорт типа бильярда^[англ.], когда электрон вынужден многократно отражаться от стенок островка прежде чем попасть во второй контакт^[9].

Исторически, мезоскопическая физика изучала вопросы когерентного транспорта в неупорядоченных системах. При достаточно малом размере изучаемых систем (порядка длине фазовой когерентности) проводимость больше не описывалась классической формулой Друде, и возникали квантовые поправки к проводимости, среди которых слабая локализация, эффект Ааронова — Бома, универсальные флуктуации кондактанса. Транспорте в таких системах размера порядка a, при условии

${\displaystyle \lambda _{F}\ll l\ll a\ll L_{\phi }\,,}$

где λ_F — фермиевская длина волны, l — длина свободного пробега, L_φ — длина фазовой когерентности, существенно зависит от беспорядка^[10]. При низких температурах длину фазовой когерентности можно оценить величиной порядка 1 μм. В то же время фермиевская длина волны электронов для типичного металла составляет 0,1 нм, а для двумерного электронного газа в гетероструктурах GaAs/AlGaAs она достигает 100 нм^[11]. По мере того, как прогресс в технологиях и особенно в нанолитографии позволял выращивать всё более чистые материалы и достигать более низкие температуры — размеры мезоскопических систем росли — ведь они ограничены только длиной фазовой когерентности. Появились системы с длиной свободного пробега порядка микрона или десятков микрон^[12]. Баллистические структуры демонстрируют необычное поведение в магнитном поле. Например, для достаточно малых размеров (геометрия «крест») возможно разрушение квантового эффекта Холла, который славится свой нечувствительностью к дефектам, но в чистых баллистических системах может пропадать^[13].

Свойства мезоскопических систем могут качественно отличаться от макроскопических. Например, в кольцевом макроскопическом проводнике, помещённым в изменяющееся внешнее магнитное поле возникает ток, в то же время для мезоскопического кольца незатухающий ток возникает при постоянном магнитном потоке^[14].

Для изучения электронного (или фононного) транспорта в мезоскопическом образце или мезоскопической системе, он должен иметь контакты со внешней средой. Такие контакты также называемые резервуарами или берегами, через которые можно пропускать ток обладают макроскопическими размерами и находятся в термодинамическом равновесии, характеризующимся термодинамической температурой и химическим потенциалом^[15]. Электроны в контактах подчиняются статистике Ферми — Дирака^[16], но если между контактами приложена разность потенциалов или разница температур, то сам мезоскопический образец не будет находится в равновесии с контактами^[17]. В мезоскопическом образце протекание тока — это сильно неравновесный процесс, поскольку электроны, попадающие в систему из разных контактов, имеют различные энергии^[18].

Теория Друде появилась в 1900 году, но основные выражения для некоторых физических величин (для эффекта Холла, высокочастотной проводимости) используют и сейчас, хотя смысл некоторых параметров поменялся из-за современного знания кинетических явлений в металлах и полупроводниках. Уровень Ферми в металлах находится в зоне проводимости — таким образом приложенное электрическое поле ускоряет электроны пока они не испытывают рассеяние из-за дефектов. Теория Друде, в современной трактовке, учитывает усреднение по рассеивателям, вызывающие неупругие столкновения и представляет собой одноэлектронную модель. Для удельной проводимости металла используется следующее выражение

${\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*}}}\,,}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — удельная электрическая проводимость, ${\displaystyle n}$ — концентрация электронов, ${\displaystyle e_{0}}$ — элементарный заряд, ${\displaystyle \tau }$ — время релаксации по импульсам (время, за которое электрон «забывает» о том, в какую сторону двигался), ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса электрона^[19].

Эта формула описывает все размерности, поскольку её размерность изменяется для концентрации. Время релаксации описывает рассеяние на большие углы — в таком случае электрон не движется в направлении приложенного электрического поля. Формула имеет смысл только для классического (или квазиклассического) транспорта, где несущественен вклад квантовых явлений. Согласие с экспериментом удельных проводимостей в квазиклассическом подходе, где электронные транспортные свойства хорошо описываются усреднением по беспорядку. Но в 80-х годах XX века оказалось, что в мезоскопических образцах это не так^[20].

Многие квантовые явления, например связанные с интерференцией, в мезоскопике рассматривают как поправки к удельной проводимости заданной формулой Друде.

Эффект Ааронова — Бома проявляется в том, что при движении в магнитном поле волновая функция электрона приобретает дополнительный сдвиг фазы равный^[21]

${\displaystyle \delta \phi =-{\frac {e}{\hbar }}\int _{L}{\textbf {A}}\cdot d{\textbf {L}}\,,}$

где L — обозначает траекторию электрона, dL — элемент длины этой траектории, A — векторный потенциал связанный с магнитным полем, e — элементарный заряд. Если рассмотреть какую-нибудь замкнутую траекторию, эта дополнительная фаза должна повлиять на интерференционную картину. Например, если электрон двигается в проводящем золотом кольце, соединённым с двумя контактами, а магнитное поле B направлено перпендикулярно плоскости кольца, то данная фаза повлияет на интерференцию между путями расположенными в разных каналах кольцевого интерферометра^[22]. При достаточно низких температурах будут наблюдаться осцилляции проводимости этой мезоскопической системы при изменении магнитного поля^[23]

${\displaystyle G(B)=G(0)+\delta G_{0}\cos \left(\delta _{0}+2\pi {\frac {BS}{h/e}}\right)\,,}$

где S— площадь кольца, h/e — квант магнитного потока.

При сильном беспорядке нарушения периодической структуры кристалла настолько велики, что радиус локализации сравним с расстоянием между атомами. Такая система испытывает андерсоновскую локализацию или сильную локализацию и становится непроводящей. При этом произведение длины свободного пробега электрона l_e и фермиевского импульса становится меньше постоянной Планка (это условие называется критерием Иоффе — Регеля)^[24]

${\displaystyle p_{F}l_{e}\leq \hbar \,.}$

В другом пределе электроны делокализованы^[25]

${\displaystyle p_{F}l_{e}\gg \hbar }$

волновые функции электрона приобретают вид блоховских волн. Если информация о фазе волновой функции сохраняется порядка времени фазовой когерентности, то все процессы рассеяния сохраняющие фазы приводят к интерференции. В этом длина свободного пробега много меньше длины фазовой когерентности и процесс рассеяния можно отобразить как показано на рисунке. Интерференция возникает для двух возможных путей обходов вдоль траектории^[26]. Конструктивная интерференция приводит к увеличению вероятности обнаружить частицу в начале пути — что соответствует увеличению рассеяния или уменьшению проводимости или наоборот деструктивная интерференция соответствует невозможности обнаружить частицы в начале пути, увеличению проводимости. Начальная точка определяется из соотношения неопределённости^[27]. Поправка к проводимости для d-мерного случая описывается интегралом^[28]

${\displaystyle {\frac {\Delta \sigma _{3}}{\sigma }}=-\int \limits _{\tau }^{\tau _{\varphi }}{v_{F}\lambda ^{d-1}dt \over {\bigl (}Dt{\bigr )}^{d/2}}\,,}$.

где τ — время релаксации по импульсам, τ_φ — время фазовой когерентности, D — коэффициент диффузии, λ — де Бройлевская длина волны электрона. Время фазовой когерентности определяется неупругими процессами, то есть меняющими энергию электрона. Рассеяние на электронах и фононах — основные процессы влияющие на τ_φ. При температурах менее и порядка 1К на время фазовой когерентности влияет электронное рассеяние на электронах, а при больших вклад вносят фононы^[29]. Для двумерной системы поправку к проводимости из-за слабой локализации модно записать в виде

${\displaystyle \Delta \sigma _{2}\approx -{\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {\tau _{\phi }}{\tau }}\approx -2{\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {L_{\phi }}{l_{e}}}}$

Экспериментально для тонких плёнок, любой механизм неупругого рассеяния для времени фазовой когерентности имеет степенную зависимость, поэтому температурная зависимость поправки имеет также логарифмический вид^[30].

Ландауэр рассмотрел идеальный одномерный случай транспорта в двухконтактном образце с барьером в 1957 году. Идеальность подразумевает отсутствие рассеяния. Единственный источник беспорядка задаётся коэффициентом пропускания барьера T. При коэффициенте пропускания равным единице канал полностью прозрачен. Если ситуация неидеальна, то часть электронов отражается с вероятностью R=1-T. Электронные резервуары подсоединённые с заданными химическими потенциалами поставляют электроны в систему. При разнице в химических потенциалах между правым и левым контактами при приложении напряжения μ₁-μ₁=eV возникает ток I в системе^[31]. Можно показать, что при нулевой температуре (случай полного вырождения) кондактанс одномерного канала (учтено спиновое вырождение), измеренного между двумя внешними резервуарами, равен

${\displaystyle G={\frac {I}{\mu _{1}-\mu _{2}}}={\frac {e^{2}}{\pi \hbar ^{2}}}T,}$

который при идеальном прохождении остаётся конечным и связан с термализацией электронов в контактах. Более строго эта зависимость вычисляется с использованием формулы Кубо^[32]. Несмотря на то, что это выражение напоминает обычный закон Ома, интерференция приводит к тому, что результат для двух последовательных барьеров уже не согласуется с классическим результатом и обычно оказывается больше, чем сумма сопротивлений^[33].

Одномерный случай представляет собой простейшую задачу о баллистическом транспорте в системе с одним рассеивателем. Она оказывается довольно универсальна когда речь идёт о транспорте в одномерных системах. Для общего случая рассматривают квазиодномерную систему и считают, что система поддерживает N мод, каждая из которых служит отдельным проводящим каналом и проводит ток в соответствии с характеристикой рассеивателей в системе. Задача формулируется в терминах многоканального рассеивания, когда мода i может пройти или отразиться с вероятностями T_ij, R_ij соответственно в j-тый канал^[34]. Полная вероятность прохождения и отражения в канале i задаются выражениями^[35]

${\displaystyle T_{i}=\sum _{j}T_{ij}\,\,\,R_{i}=\sum _{j}R_{ij}\,.}$

В сумме кондактанс многомодовой системы при разности химических потенциалов много меньших теплового размытия (~kT) приобретает вид интеграла по энергии

${\displaystyle G={\frac {e^{2}}{\pi \hbar }}\int dE\left({\frac {\partial f}{\partial E}}\right)\sum _{i}T_{i}(E)\,,}$

где f — функция Ферми — Дирака^[36].

Как показано выше для одномерных проводящих каналов проводимость квантуется. Такая ситуация возникает во многих системах в мезоскопической физике. Нанопроволока или графеновые наноленты, углеродные нанотрубки — это типичные примеры одномерных систем. Существуют также системы, которые формально не являются одномерными, но ведут себя в соответствии с формулой Ландауэра — это система с двумерным электронным газом (ДЭГ) в квантующем магнитном поле и квантовый точечный контакт. Квантовый точечный контакт представляет собой микросужение в ДЭГ сформированное посредством нанолитографии. Его формируют с помощью мезы — полностью удаляют ДЭГ, но это увеличивает количество дефектов по краям проводящего канала или формируют локальные затворы, которые обедняют часть ДЭГ с помощью эффекта поля. Сужение имеет размер сопоставимый с длиной волны электрона, которая определяется законом дисперсии и уровнем Ферми и быть много меньше, чем длина свободного пробега электронов — что приводит к возникновению баллистического транспорта носителей тока в системе. Размер сужения настолько мал, что формирует барьер для электронов, в котором существует несколько квантованных уровней энергии — определяемый квантованием при поперечном движении, зависящем от размера и эффективной массы электронов, но в то же время при движении вдоль канала волновые функции электронов представимы в виде плоских волн. Если уровень Ферми в системе превышает основной уровень квантования в микросужении, то возникает ток в системе. Микросужение характерно тем, что канал сформированный электростатически меняется плавно в зависимости от расстояния до самого узкого места. Это приводит к адиабатическому транспорту — то есть если электрон попадает в область микросужения с достаточной энергией, то он проходит его, тем самым формируя идеальный коэффициент пропускания T=1 для всех мод^[37]. Ступеньки в кондактансе полученные из выражение приведено выше принимают вид^[38]

${\displaystyle G_{qpc}=N{\frac {e^{2}}{\pi \hbar ^{2}}}\,,}$

где N — это число поперечных мод в микросужении. При повышении температуры наблюдается размытие ступеней в связи с уширением распределения Ферми — Дирака.

Квантовый эффект Холла наблюдается в двумерной проводящей системе. Эффект заключается в возникновении ступеней со значением холловских сопротивлений — измеренных в геометрии моста Холла — кратным постоянной Клитцинга был открыт в 1980 году в кремнии^[39]. Теория Друде хорошо описывает поведение ДЭГ в сильных классических магнитных полях, поскольку как было показано выше в слабых полях возникают поправки к проводимости^[40], но из-за квантования спектра электронов в сильном перпендикулярном квантующем магнитном поле ситуация кардинально меняется. Вместо линейной зависимости холловского сопротивления от магнитного формировалась серия ступенек, причём продольная компонента сопротивления обращалась в величину близкую к нулю. В оригинальной работу было показано, что квантование выполнялось с хорошей относительной точностью порядка 1⋅10^-7[41]. Возникновение ступенек связано с формированием одномерных проводящих каналов на краях образца, транспорт в которых можно описать в терминах теории Бюттикера — Ландауэра для геометрии холловского моста.

Прыжковая проводимость — это механизм переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках за счет прыжков электронов между локализованными энергетическими уровнями, активный при низких температурах, когда делокализация электронов ограничена. Электроны получают энергию для прыжка от фононов, соответствующую kT. Основной вклад в проводимость при умеренно низких температурах вносят прыжки между близкими уровнями, при этом удельное электрическое сопротивление зависит от температуры по экспоненциальному закону ${\displaystyle \rho \approx \exp(aT^{-\alpha })}$, где 𝛼=1. При крайне низких температурах средняя длина прыжка увеличивается, влияя на сопротивление по закону Мотта, где показатель степени 𝛼 часто равен 1/4. В легированных полупроводниках прыжковая проводимость возможна только при наличии свободных состояний и наблюдается при температурах ниже 10К^[42].

Комментарии

Источники