PROFILPELAJAR.COM

Магический шестиугольник или магический гексагон порядка $n$ — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной $n$ таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе $M.$


Порядок n = 1 $M=1$	Порядок n = 3 $M=38$

Обычный магический шестиугольник может быть только порядка $n=1$ (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или $n=3$ и может содержать числа от единицы до $3n^{2}-3n+1.$ Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка $n=3.$

Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году. ^{[источник не указан 3790 дней]}

Доказательство единственности

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка $n=1$ и $n=3.$

Вычислим магическую константу $M.$ С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до $3n^{2}-3n+1$ (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

S={\cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).

С другой стороны, есть $2n-1$ рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна $M,$ то во всём шестиугольнике будет $S=M(2n-1).$

Приравняв суммы, получим, что

32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{\cfrac {5}{2n-1}}

Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит, ${\cfrac {5}{2n-1}}$ — это целое число, что возможно только при $n=1$ и $n=3.$

QED.

Аномальные магические шестиугольники

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от $n=3$ не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.

14 33 30 34 39 6 24 20 22 37 13 11 8 25 17 21 23 7 9 3 10 38 36 4 5 12 28 26 35 16 18 27 15 19 31 29 32	41 51 63 45 44 64 25 40 46 35 34 23 20 10 56 27 42 66 55 38 19 9 6 22 48 47 61 58 18 11 8 7 13 15 53 52 37 14 16 30 12 24 59 57 32 29 21 17 39 49 31 36 62 28 54 33 43 26 60 65 50	56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50
Порядок 4 $M=111$ Начинается с $3$ и кончается $39$	Порядок 5 $M=244$ Начинается с $7$ и кончается $66$ .	Порядок 5 $M=305$ Начинается с $15$ и кончается $75$ .

Магический гексагон порядка $n=6$ , начинающийся с $21$ и кончающийся $111$ ( $M=546$ ) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Гексагон порядка $n=7$ , начинающийся с 2 и кончающийся 128 ( $M=635$ ) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка $n=8$ , начинающийся с −84 и кончающийся 84 ( $M=0$ ) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.

См. также

Примечания

Литература

Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4