Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины ${\displaystyle W}$ спектральной линии поглощения от количества атомов ${\displaystyle N}$, которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых ${\displaystyle N}$ оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально ${\displaystyle W\propto N}$ — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом ${\displaystyle N}$ оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, ${\displaystyle W\propto {\sqrt {\ln N}}}$. При ещё большем ${\displaystyle N}$ начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней ${\displaystyle W\propto {\sqrt {N}}}$.

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины ${\displaystyle W}$ спектральной линии поглощения от количества атомов ${\displaystyle N}$, которые поглощают излучение в этой линии^[1].

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии^[1][2][3].

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания ${\displaystyle N}$: линейную, где ${\displaystyle W\propto N}$; пологую, или переходную, в которой ${\displaystyle W\propto {\sqrt {\ln N}}}$; и область затухания излучения, где ${\displaystyle W\propto {\sqrt {N}}}$^[1].

• 
  Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 10¹² атомов на см² для линии наименьшей глубины до 10²⁰ атомов на см² для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.
• 
  Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии ${\displaystyle b_{d}}$, связанной с половинной полушириной ${\displaystyle g}$ гауссовского профиля линии (см. ниже➤) как ${\displaystyle b_{d}=g/{\sqrt {\ln 2}}}$.

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины ${\displaystyle W}$: это размер области в длинах волн (${\displaystyle W_{\lambda }}$) или в частотах (${\displaystyle W_{\nu }}$), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии^[2].

Более строго ${\displaystyle W}$ определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте ${\displaystyle \nu }$ обозначается как ${\displaystyle I_{\nu }}$, а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — ${\displaystyle I_{\nu }^{0}}$: для нахождения ${\displaystyle I_{\nu }^{0}}$ проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала^[2]. Вводится параметр ${\displaystyle a_{\nu }=1-I_{\nu }/I_{\nu }^{0}}$, называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте ${\displaystyle \nu }$, которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением ${\textstyle W_{\nu }=\int _{\nu _{1}}^{\nu _{2}}a_{\nu }d\nu }$ или ${\textstyle W_{\lambda }=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}a_{\lambda }d\lambda }$ — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \infty }$, но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров^[4]. В то же время ${\displaystyle a_{\nu }}$ связана с оптической толщиной поглощающего слоя ${\displaystyle \tau _{\nu }}$ на частоте ${\displaystyle \nu }$ как ${\displaystyle a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}}$, а ${\displaystyle \tau _{\nu }}$ прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения ${\displaystyle N}$^[5][6][7].

В любом случае, когда ${\displaystyle N}$ мало, то мала и ${\displaystyle \tau _{\nu }}$ во всех частях линии. Тогда ${\displaystyle a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}}$ возрастает практически линейно с ростом ${\displaystyle \tau _{\nu }}$, и, следовательно, ${\displaystyle W\propto N}$. Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост ${\displaystyle a_{\nu }}$ в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии ${\displaystyle \tau _{0}}$ по порядку величины меньше единицы^[8][9]. Увеличение ${\displaystyle W}$ замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — ${\displaystyle \tau _{\nu }}$ ещё невелико. Связь между ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle N}$ для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии^[1][5][7].

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению ${\displaystyle \tau _{\nu }}$ (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского^[10]. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот^[7][11].

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид^[12]:

${\displaystyle \tau (x)=\tau _{0}\exp \left(-{\frac {x^{2}\ln 2}{g^{2}}}\right),}$

где ${\displaystyle \tau _{0}}$ — оптическая толщина в центре линии, ${\displaystyle g}$ — половинная полуширина линии, ${\displaystyle x}$ — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену ${\textstyle u={\frac {x{\sqrt {\ln 2}}}{g}}}$, тогда ${\displaystyle u}$ — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной ${\displaystyle g/{\sqrt {\ln 2}}}$. Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так^[8][12]:

${\displaystyle W={\frac {2g}{\sqrt {\ln 2}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-\tau _{0}e^{-u^{2}}\right]\right)du}$

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших ${\displaystyle \tau _{0}}$, соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших ${\displaystyle u}$ и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» ${\displaystyle u}$ можно взять значение ${\displaystyle u_{0}}$, при котором ${\displaystyle \tau _{0}e^{-u_{0}^{2}}=1}$. Это условие выполняется при ${\displaystyle u_{0}={\sqrt {\ln \tau _{0}}}}$, так что ${\displaystyle W}$ с хорошей точностью оказывается пропорционально ${\displaystyle {\sqrt {\ln \tau _{0}}}}$, а значит, ${\displaystyle W\propto {\sqrt {\ln N}}}$^[8]. Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результату^[13].

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде^[14]:

${\displaystyle \tau (x)=\tau _{0}{\frac {l^{2}}{l^{2}+x^{2}}},}$

где ${\displaystyle \tau _{0}}$ — оптическая толщина в центре линии, ${\displaystyle l}$ — половинная полуширина линии, ${\displaystyle x}$ — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена ${\textstyle y=x/l}$, тогда ${\displaystyle y}$ — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид^[14]:

${\displaystyle W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}+1}}\right]\right)dy}$

При достаточно больших ${\displaystyle \tau _{0}}$ центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как ${\displaystyle y^{-2}}$. Тогда ширина приближённо выражается^[8][14]:

${\displaystyle W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}}}\right]\right)dy}$

Если сделать замену ${\textstyle z^{2}=\tau _{0}/u^{2}}$^[8][14]:

${\displaystyle W=2l{\sqrt {\tau _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-z^{2}\right]\right)d(1/z)}$

Таким образом, для лоренцевского профиля ${\displaystyle W}$ растёт пропорционально${\displaystyle {\sqrt {\tau _{0}}}}$, а значит, ${\displaystyle W\propto {\sqrt {N}}}$^[7][8].

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевским^[15].

Таким образом, при достаточно больших значениях ${\displaystyle N}$ оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост ${\displaystyle W}$ происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально ${\displaystyle {\sqrt {\ln N}}}$. При очень больших ${\displaystyle N}$ дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и ${\displaystyle W}$ начинает расти приблизительно пропорционально ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$^[1][9][16]. Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около 10^3[8], хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших ${\displaystyle \tau _{0}}$ происходит переход^[17].

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов^[1].

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов ${\displaystyle N}$ неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено ${\displaystyle N}$^[18].

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем ${\displaystyle N}$ и при большей эквивалентной ширине^[1][19]. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности^[20].

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста^[21].

• Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. — Изд. 3-е, переработанное. — М.: Наука, 1985. — 504 с.

Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии.