Родился в селе Мошки Рыбновского района Рязанской области. Дебютировал на чемпионатах Европы и мира в 1959 году.
На Олимпийских играх 1960 года на искусственном льду Скво-Вэлли Косичкин стал чемпионом в беге на 5000 м, выиграв 9,5 секунд у ставшего вторым норвежца Кнута Йоханнесена. Через 2 дня на дистанции 10000 метров Косичкин проиграл Йоханнесену 3,6 сек и завоевал серебро (Йоханнесен победил с новым мировым рекордом, который на 45 секунд превышал прежний).
В 1961 году стал чемпионом Европы и вторым на чемпионате мира в классическом многоборье, где проиграл голландцу Хенку ван дер Грифту.
Через год, в 1962 году в Москве, на глазах у переполненного Центрального стадиона имени Ленина (Лужники) стал чемпионом мира, вторым на этот раз стал ван дер Грифт. Примечательно, что чемпионат Косичкин выиграл в старых норвежских коньках довоенного производства, которые ему дал Евгений Гришин, поскольку свои ему не нравились[2]. После победы Косичкина прямо в коньках принесли на руках в ложу, где за чемпионатом пристально наблюдал Леонид Брежнев (Председатель Верховного Совета СССР в тот год). Брежнев спросил Косичкина, чего он хочет за победу. В ответ Косичкин попросил удовлетворить просьбу о женитьбе на гражданке Чехословакии Гане Бартошевой. На следующий день Косичкину вручили разрешение на брак, билеты до Праги и визу на месяц[3].
На Олимпийских играх 1964 года в Инсбруке не завоевал медалей, стал четвёртым на 5000 м (3,8 сек до бронзовой награды) и шестым на 10000 м. В том же году стал вторым на чемпионате мира, проиграв Кнуту Йоханнесену.
В 1965 году стал третьим на чемпионате Европы.
На чемпионатах СССР в начале 1960-х доминировал на длинных дистанциях, четыре раза выигрывал на 5000 м (1958, 1960, 1961, 1962), пять раз на 10000 м (1960, 1961, 1962, 1964, 1965) и один раз на 1500 м (1961). Но лишь однажды, в 1961 году стал абсолютным чемпионом СССР.
Орден Трудового Красного Знамени (16.09.1960) — за успешные выступления в XVII летних и VIII зимних Олимпийских играх 1960 года, а также за выдающиеся спортивные достижения[5]
↑Указ Президиума Верховного Совета СССР от 16.09.1960 «О награждении орденами и медалями СССР спортсменов и тренеров» // Советский спорт (газета). — 17 сентября 1960, № 225. — с. 1-3.