В мае 2006 года впервые попал в заявку на матчи «Динамо-3», которое выступало во Второй лиге Украины, а в июне в заявку «Динамо-2», играющего в Первой лиге. 7 августа 2006 года дебютировал в составе «Динамо-3» в домашнем матче против броварского «Нафкома» (1:2)[3], Кичак вышел на 78 минуте вместо Романа Загладько. 16 октября 2006 года впервые отыграл все 90 минут в выездном матче иванофранковского «Факела» (1:0)[4], на 37 минуте пропустил единственный гол в игре с пенальти от Тараса Ковальчука. Всего в сезоне 2006/07 за «Динамо-3» он провёл 7 матчей в которых пропустил 7 мячей.
16 сентября 2007 года дебютировал в составе «Динамо-2» в Первой лиге в выездной игре против калининского «Феникс-Ильичёвца» (0:0). 21 сентября дебютировал в молодёжном первенстве Украины в матче против симферопольской «Таврии» (1:4)[5], единственный гол он пропустил на 17 минуте от Евгения Линева. В январе 2008 года вместе с дублем «Динамо» поехал на Кубок Содружества, который проходил в Санкт-Петербурге. «Динамо» тогда заняло 3 место в своей группе, уступив БАТЭ и «Пахтакор» и обогнав «Бананц». Позже вместе с «Динамо-2» побывал на сборах на Кипре[6]. В сезоне 2007/08 за «Динамо-3» сыграл 17 матчей, в которых пропустил 23 гола, за «Динамо-2» провёл 5 игр и пропустил 5 мячей, в молодёжном первенстве сыграл 4 матча и пропустил 4 мяча.
Кичак попал в заявку на Лигу чемпионов 2008/09 в списке «В»[7]. В январе 2009 года участвовал в Мемориале Макарова, в котором «Динамо» стало победителем[8]. В феврале 2009 года вместе с «Динамо-2» побывал на сборах на Кипре[9]. В сезоне 2008/09 Кичак играл за «Динамо-2», в котором главным его конкурентом был Денис Бойко, Артём провёл 15 игр в которых пропустил 20 мячей, в молодёжном первенстве провёл всего 2 матча.
В сезоне 2009/10 Артём был вновь заявлен в еврокубки[10]. В январе 2010 года вместе с командой во второй раз отправился на Кубок Содружества, который уже проходил в Москве. На турнире он сыграл всего в 1 матче, против туркменского МТТУ (2:4)[11] из-за простуды[12]. В своей группе «Динамо» заняло 1 место, обогнав сборную клубов России, МТТУ и эстонскую «Левадию». В 1/4 «Динамо» уступило литовскому «Экранасу» (0:1). В феврале 2010 года вместе с «Динамо-2» по традиции участвовал в сборах на Кипре[13]. В этом сезоне Кичак впервые попал в заявку «Динамо» на чемпионат Украины. В «Динамо-2» провёл 10 матчей в которых пропустил 12 мячей, его конкурентами были Артур Рудько и Роман Загладько. В молодёжном чемпионате играл во второй половине сезона и сыграл в 8 играх и пропустил 9 голов, а «Динамо» стало бронзовым призёром первенства.
Летом 2010 года должен был поехать на сборы вместе с основной командой «Динамо», но из-за микротравмы он выбыл на две недели и вызвали Артура Рудько[14]. В июле 2010 года отправился в Москву для участия в Кубке Льва Яшина[15]. Летом 2010 года «Динамо» приобрело Максима Коваля и Кичак отправился на просмотр в запорожский «Металлург»[16]. В «Металлурге» он прошёл медосмотр и несколько дней тренировался вместе с командой, однако тренерский штаб в итоге решил отказаться от услуг Кичака и он вернулся в «Динамо»[17]. В начале сентября 2010 года был заявлен за «Динамо» для участие в Лиге Европы[18]. 27 октября 2010 года дебютировал в основной команде «Динамо» в матче 1/8 финала Кубка Украины против «Севастополя» (1:2)[19], Кичак вышел в стартовом составе, а на 37 минуте пропустил первый гол в игре от Юрия Плешакова. По итогам турнира стал серебряным призёром.
В январе 2011 года впервые отправился вместе с «Динамо» на сборы в Израиль[20], а позже в Испанию[21]. В феврале 2011 года также побывал на краткосрочных сборах в Турции[22], где он провёл 1 тайм в игре против московского «Торпедо» (2:0)[23]. В начале марта 2011 года был переведён в «Динамо-2», для получения игровой практики в Первой лиге[24]. 19 апреля 2011 года в выездном матче против «Крымтеплицы» (2:1), Кичак выступал в свитере «Крымтеплицы» с 1 номером на спине, так как форма всей команды «Динамо-2» потерялась. Артём тем самым нарушил один из пунктов регламента Профессиональной футбольной лиги Украины[25]. В сезоне 2010/11 провёл в Первой лиге провёл 8 матчей, в которых пропустил 9 мячей. В молодёжном чемпионате провёл 9 игр и пропустил 13 мячей. Кичак в этом сезоне начал часто попадать в заявку на матчи в чемпионате Украины, однако не смог составить конкуренцию Александру Шовковскому, Станиславу Богушу, Максиму Ковалю и Денису Бойко.
В сезоне 2011/12 Кичак был заявлен за «Динамо» в еврокубках в списке «А»[26]. После домашнего матча Первой лиги 11 сентября 2011 года против запорожского «Металлурга» (1:0), Кичак попал в символическую сборную тура по версии Football.ua[27]. В январе 2012 года побывал на просмотре в «Александрии», в стан которой мог перейти на правах аренды[28][29]. В составе команды побывал на сборах в Турции, но в итоге вернулся в «Динамо»[30]. Зимой 2012 года вместе с «Динамо» побывал на сборах в Испании и Израиле[31][32].
Первую половину сезона 2011/12 провёл в составе «Динамо-2» и сыграл в 17 матчах, в которых пропустил 24 мяча. Во второй половине сезона был заявлен за первую команду, что давало возможность играть в Премьер-лиге и молодёжном чемпионате[33]. В молодёжном первенстве он провёл 6 игр в которых пропустил 6 голов. 10 мая 2012 года дебютировал в чемпионате Украины в домашнем матче против симферопольской «Таврии» (1:1)[34], Кичак вышел на поле вместо Брауна Идейе из-за удаление Максима Коваля на 39 минуте, на 87 минуте Артём пропустил гол от Марина Любичича. По итогам чемпионата Украины сезона 2011/12 «Динамо» стало серебряным призёром турнира, уступив донецкому «Шахтёра».
В мае 2012 года появилась информация о том, что Кичак может уйти в аренду в другой клуб[35]. Это связано с тем, что в «Динамо» у него практически нет шансов заиграть[36] из-за присутствия других вратарей Александра Шовковского, Максима Коваля и Станислава Богуша[37], которые к тому же имеют опыт игр за национальную сборную Украины. В июне 2012 года вместе с основой «Динамо» отправился на тренировочный сбор в Австрию[38].
«Волынь»
В июле 2013 года перешёл в луцкую «Волынь»[39]. В команде был основным вратарём. Летом 2017 покинул клуб.
В мае 2004 года был вызван в сборную Украины до 17 лет на Кубок президента Федерации футбола Молдавии. 14 мая 2004 года дебютировал в составе сборной в матче против Молдавии (1:2)[41]. В августе 2004 года участвовал в Кубке Федерации футболу Литвы[42]. 17 ноября 2004 года сыграл в товарищеском матче против Белоруссии (3:0)[43], в котором пропустил 3 мяча. В феврале 2005 года сыграл в товарищеском матче против Турции (1:0), а в апреле против Нидерландов (0:1).
В мае 2005 года принял участие в Мемориале Банникова. Украина в своей группе заняла 1 место, обогнав Словакию, Бельгию и Литву. В финале сборная Украины обыграла Турцию (1:0) и выиграла турнир. Кичак был признан лучшим вратарём турнира[44]. В сентябре 2005 года участвовал на турнире Кубок Сиренки, Украина дошла до финала где уступила Словакии (3:3 основное время и 4:3 по пенальти)[45]. Также в сентябре 2005 года сыграл в двух товарищеских играх против Бельгии.
В сентябре 2005 года Кичак был вызван на квалификационный раунд юношеский чемпионат Европы 2006 для игроков не старше 17 лет. Артём сыграл во всех трёх играх в своей группе. Украина заняла 3 место, уступив Ирландии и Италии и обогнав Латвию. Так как у жёлто-синих были лучшие показатели среди всех команд которые в группе заняли 3 место Украина попала в элит-раунд. 20 февраля 2006 года сыграл в товарищеской игре против Румынии (1:1), а 6 марта против Болгарии (0:0). В элит-раунде Артём сыграл всего в одной игре против Португалии (2:2). Украина заняла 3 место в группе и покинула турнир, она уступила Венгрии и Португалии и обогнала лишь Швецию.
Всего за сборную до 17 лет провёл 22 матча и пропустил 13 голов в течение двух лет. Основным конкурентом в сборной до 17 лет на вратарской позиции у Кичака был Константин Махновский, который также играл в системе киевского «Динамо».
До 19 лет
31 октября 2006 года дебютировал в сборной Украины до 19 лет в товарищеском матче против Италии (0:0). 28 ноября 2006 года сыграл в товарищеской игре против Португалии (0:2). В январе 2007 года главный тренер сборной (до 19 лет)Анатолий Бузник вызвал Артёма на Мемориал Гранаткина, который проходил в Санкт-Петербурге. На турнире он сыграл в 4 матчах. В сентябре 2007 года сыграл в товарищеском матче против Бельгии (1:1), а в октябре против Белоруссии (4:1).
В ноябре 2008 года главный тренер молодёжной сборной до 21 годаПавел Яковенко впервые вызвал Кичака в стан команды на товарищескую игру против Польши[47]. В матче он участия не принял. 11 февраля 2009 года Кичак оказался на скамейке запасных в игре национальной сборной Украины в товарищеском матче против Сербии (1:0) в рамках международного турнира на призы Федерации футбола Кипра[48]. Главный тренер сборной Алексей Михайличенко вызвал Артёма в качестве резервного вратаря на подмену Рустаму Худжамову, так как «Динамо-2» проходило сборы на Кипре. Его появление на поле планировалось лишь в случае крайней необходимости[49]. В марте 2009 года был вызван на товарищеский матч молодёжной сборной против Северной Ирландии (1:1), в этой игре Кичак остался на скамейке запасных[50]. В августе того же года был заявлен на Турнир памяти Валерия Лобановского, в котором он также не сыграл[51].