Интерполяцио́нная фо́рмула Га́усса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования
узлы. Строится с помощью интерполяционной формулы Ньютона.
Пусть необходимо интерполировать некоторую функцию
. Если
, где
— некоторая начальная точка,
, то формула
![{\displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n) \over (2n)!},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed38c8df83bcfffff60b69c7cffe5d60935df9aa)
написанная по узлам
, называется формулой Гаусса для интерполирования вперёд, а формула
![{\displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \over 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}] \over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n) \over (2n)!},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92e7940a44ed08e75bd84d519cda1f17cb985ac)
написанная по узлам
, называется формулой Гаусса для интерполирования назад.
В обеих формулах использованы конечные разности, определяемые следующим образом:
![{\displaystyle f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^{m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2231cc8c455b9e7564d0f0790cb24198c9b3238)
Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.
Литература