Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект ${\displaystyle X}$ по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов ${\displaystyle X_{i}}$ и набору отображений ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$. Для индуктивного предела обычно используется обозначение

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть ${\displaystyle I}$ — направленное множество с отношением предпорядка ${\displaystyle \leqslant }$ и пусть каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ сопоставлен алгебраический объект ${\displaystyle X_{i}}$, а каждой паре ${\displaystyle (i,\;j)}$, ${\displaystyle i,\;j\in I}$, в которой ${\displaystyle i\leqslant j}$, сопоставлен гомоморфизм ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$, причём ${\displaystyle f_{ii}}$ — тождественные отображения для любого ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ из ${\displaystyle I}$. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей ${\displaystyle X_{i}}$ по отношению эквивалентности:

${\displaystyle \varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .}$

Здесь ${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}\in X_{j}}$ эквивалентны, если существует такое ${\displaystyle k\in I}$, что ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})}$. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}$.

Из этого определения легко получить канонические морфизмы ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на ${\displaystyle X}$ можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — это объект ${\displaystyle X}$ категории, такой что выполняются следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\to X}$, что ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$;
2. для любого семейства отображений ${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to Y}$, в произвольное множества ${\displaystyle Y}$, для которого выполнены равенства ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$, существует единственное отображение ${\displaystyle u:X\to Y}$, что ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i}}$, для всех ${\displaystyle i\in I}$.

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

• На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
• Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pⁿZ и гомоморфизмов Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p^∞).
• Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (U ≤ V если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), r_U,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается F_x.
• Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии^[англ.] соответствующему множеству-носителю.

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485