Направленное множество — непустое множество A с заданным на нем рефлексивным транзитивным отношением ≤ (то есть предпорядком), обладающее дополнительным свойством: у любой пары элементов из A есть верхняя грань в A.

Направленные множества являются обобщением линейно упорядоченных множеств, то есть любое линейно упорядоченное множество является направленным (для частично упорядоченного множества это, вообще говоря, неверно). В топологии направленные множества используются для определения направленностей, являющихся обобщением последовательности и объединяющих понятие предела, используемого в математическом анализе.

Примеры направленных множеств:

• Множество натуральных чисел N со стандартным отношением ≤ есть направленное множество.
• Множество N ${\displaystyle \times }$ N пар натуральных чисел становится направленным множеством, если определить отношение следующим образом: (n₀ , n₁) ≤ (m₀, m₁) тогда и только тогда, когда n₀ ≤ m₀ и n₁ ≤ m₁.
• Множество разбиений интервала при этом ${\displaystyle P\leq R}$ если разбиение ${\displaystyle R}$ является подразбиением ${\displaystyle P}$.
• Если x₀ — вещественное число, мы можем сделать из R направленное множество: a ≤ b тогда и только тогда, когда
  |a − x₀| ≥ |b − x₀|. Это пример направленного множества, не являющегося частично упорядоченным.
• Тривиальным примером частично упорядоченного множества, не являющегося направленным, является множество {a, b}, в котором определены лишь отношения a ≤ a и b ≤ b.
• Если T — топологическое пространство, а x₀ — точка из T, то мы можем задать направление на множестве окрестностей x₀ следующим образом: U ≤ V тогда и только тогда, когда U содержит V.
  • Для всех U: U ≤ U; так как U содержит себя.
  • Для всех U,V,W: если U ≤ V и V ≤ W, то U ≤ W; так как если U содержит V и V содержит W, то U содержит W.
  • Для всех U, V: существует множество U ${\displaystyle \cap }$ V такое, что U ≤ U ${\displaystyle \cap }$ V и V ≤ U ${\displaystyle \cap }$ V; так как и U, и V содержат U ${\displaystyle \cap }$ V.
• В частично упорядоченном множестве P, множество нижних границ некоторого элемента из P, то есть множество вида {a| a из P, a ≤x} где x — фиксированный элемент из P, является направленным множеством.

Отношение направления может не быть антисимметричным, и, следовательно, направленные множества не всегда являются частично упорядоченными. Однако термин направленное множество также часто употребляется в контексте частично упорядоченных множеств. Таким образом, подмножество A частично упорядоченного множества (P,≤) называется направленным подмножеством, если A непусто, и для всех a и b из A существует c из A такой, что a ≤ c и b ≤ c. Здесь отношение порядка на элементах из A наследуется от P; поэтому рефлексивность и транзитивность не требуются в явном виде.

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.