Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости ); «идиоматическая » область в комплексном анализе .
Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
z
z
¯ ¯ -->
<
1
{\displaystyle z{\bar {z}}<1}
В действительных координатах
x
+
i
y
=
z
{\displaystyle x+iy=z}
x
2
+
y
2
<
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}<1}
Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости ).
Границей единичного круга является единичная окружность .
Единичный круг обычно обозначается как
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta }
D
{\displaystyle D}
С точки зрения конформных отображений , автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли , состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:
f
(
z
)
=
e
i
φ φ -->
z
+
b
1
+
b
¯ ¯ -->
z
,
|
b
|
<
1
{\displaystyle f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+b}{1+{\bar {b}}z}},\ |b|<1}
Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна (
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
поворотами .
С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений ) нет.
Основная статья:
Модель Пуанкаре Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре :
d
s
2
=
4
d
z
d
z
¯ ¯ -->
(
1
− − -->
|
z
|
2
)
2
=
4
d
x
2
+
d
y
2
(
1
− − -->
x
2
− − -->
y
2
)
2
.
{\displaystyle ds^{2}=4{\frac {dz\,d{\bar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}=4{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.}
Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского .
С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости).
Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость .
И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана , разрезанной большой окружностью .
Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости ).
В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.
