${\displaystyle U(1)}$ (унитарная группа порядка 1) — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$. Является одномерной группой Ли, изоморфна группе ${\displaystyle SO(2)}$ вращений плоскости и диффеоморфна окружности.

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера ${\displaystyle 1\times 1}$. Данная группа естественным образом изоморфна группе ${\displaystyle SO(2)}$ вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как ${\displaystyle T}$ или ${\displaystyle \mathbb {T} }$ в связи с тем, что квадрат этой группы ${\displaystyle \mathbb {T} \times \mathbb {T} }$ представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп ${\displaystyle \mathbb {T} }$, не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

${\displaystyle U(1)}$ упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: ${\displaystyle \partial D}$) или просто «окружность» (${\displaystyle S}$ или ${\displaystyle S^{1}}$).

Группа ${\displaystyle U(1)}$ компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную ${\displaystyle U(1)}$.

Группа ${\displaystyle U(1)}$ не является односвязной.

Элементы группы ${\displaystyle U(1)}$ фактически определяют величину угла: комплексное число ${\displaystyle z}$ группы можно записать как ${\displaystyle z=e^{i\phi }}$ (причём ${\displaystyle \phi }$ будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу ${\displaystyle U(1)}$ можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов ${\displaystyle SO(2)}$ всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов (${\displaystyle 2\pi n}$, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на ${\displaystyle 120^{\circ }=2\pi /3}$ и ${\displaystyle 240^{\circ }=4\pi /3}$ будет равна нулю. Таким образом, группа ${\displaystyle U(1)}$ изоморфна факторгруппе ${\displaystyle {\mathbb {R} }/2\pi {\mathbb {Z} }}$ группы вещественных чисел по модулю ${\displaystyle 2\pi }$. Если измерять угол в оборотах (${\displaystyle 2\pi =360^{\circ }}$), то ${\displaystyle U(1)\approx {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$ — группа дробных частей вещественных чисел.

Группа ${\displaystyle U(1)}$ является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).

В физике калибровочная ${\displaystyle U(1)}$-теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике ${\displaystyle U(1)}$ — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.

На свойствах ${\displaystyle U(1)}$ основан метод тригонометрических сумм.

• Единичная окружность
• Фаза колебаний
• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа