Дробь в арифметике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы[1].
В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.
В математической записи дроби вида m / n {\displaystyle m/n} или m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем. Первый выступает в роли делимого, второй — делителя.
В общей алгебре обыкновенные дроби образуют поле, называемое полем рациональных чисел.
Обыкновенная (или простая) дробь — запись числа в виде m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} или m / n , {\displaystyle m/n,} где m {\displaystyle m} — целое, а n {\displaystyle n} — натуральное число. Горизонтальная [называется винкулум] или косая [солидус] черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} , 7 8 {\displaystyle {\frac {7}{8}}} и 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} — правильные, в то время как 5 3 {\displaystyle {\frac {5}{3}}} , 8 7 {\displaystyle {\frac {8}{7}}} , 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} и 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} — неправильные. Всякое, отличное от нуля, целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1 {\displaystyle 1} .
Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом (или смешанной дробью) и понимается как сумма этого натурального числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанного числа (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 {\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}} .
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.
Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак + {\displaystyle +} вне арифметических выражений обычно опускается):
Часть записи, которая стоит до запятой, в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Пример: десятичная дробь 3,141 5926 {\displaystyle 3{,}1415926} в формате обыкновенной дроби равна 31415926 10000000 {\displaystyle {\frac {31415926}{10000000}}} .
Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …
Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10−7, означает 0,0000006023 (умножение на 10 − − --> 7 {\displaystyle 10^{-7}} , или, что то же, деление на 10 7 , {\displaystyle 10^{7},} перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).
Другой вид дроби представляет собой процент (лат. Pro Centum — «на сто»), представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.
Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000. Распространенным обозначением частей на миллион является (англ. parts per million — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме ± ± --> 1. {\displaystyle \pm 1.}
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} и c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} . Порядок действий:
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M {\displaystyle M} ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M {\displaystyle M} любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} и 4 5 {\displaystyle {\frac {4}{5}}} . H O K ( 4 , 5 ) = 20 {\displaystyle \mathrm {HOK} (4,5)=20} . Приводим дроби к знаменателю 20 {\displaystyle 20} .
Следовательно, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}} .
Другой способ. Сравним дополнения дробей 3 4 {\displaystyle {\dfrac {3}{4}}} и 4 5 {\displaystyle {\dfrac {4}{5}}} до единицы, то есть сравним 1 4 {\displaystyle {\dfrac {1}{4}}} и 1 5 {\displaystyle {\dfrac {1}{5}}} . Поскольку 1 4 > 1 5 {\displaystyle {\dfrac {1}{4}}>{\dfrac {1}{5}}} , так как 4 < 5 {\displaystyle 4<5} , выводим, что 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\dfrac {3}{4}}<{\dfrac {4}{5}}} .
Сумма обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей данных дробей.
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
НОК знаменателей (здесь 2 {\displaystyle 2} и 3 {\displaystyle 3} ) равно 6 {\displaystyle 6} . Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 6 {\displaystyle 6} , для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3 {\displaystyle 3} . Получилось 3 6 {\displaystyle {\frac {3}{6}}} . Приводим дробь 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2 {\displaystyle 2} . Получилось 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} . Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
НОК знаменателей (здесь 2 {\displaystyle 2} и 4 {\displaystyle 4} ) равно 4 {\displaystyle 4} . Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 4 {\displaystyle 4} , для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2 {\displaystyle 2} . Получаем 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} .
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
Определим обратную дробь для дроби a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} как дробь b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}} (здесь a , b ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle a,b\neq 0} ). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
Например:
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:
Пример:
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможно[4].
Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь 1 , 3 ( 142857 ) = 1 , 3 142857 142857 142857 … … --> {\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots } в обыкновенную дробь. 1 , 3 ( 142857 ) = 1 , 3 + 0 , 1 ⋅ ⋅ --> 0 , ( 142857 ) . {\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).} Обозначим x = 0 , ( 142857 ) {\displaystyle x=0{,}(142857)} , тогда 1000000 ⋅ ⋅ --> x = 142857 + x , {\displaystyle 1000000\cdot x=142857+x,} откуда: 999999 x = 142857 , {\displaystyle 999999x=142857,} или: x = 142857 999999 = 1 7 . {\displaystyle x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.} В итоге получаем: 1 , 3 ( 142857 ) = 1 , 3 + 0 , 1 x = 1 , 3 + 0 , 1 ⋅ ⋅ --> 1 7 . = 13 10 + 1 70 = 92 70 = 1 11 35 . {\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7}}.={\frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.}
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Марокканский учёный аль-Хасар впервые использовал современное символьное обозначение с горизонтальной чертой. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.
Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.)[5], Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.)[6], Московский математический папирус (ок. 1850 год до н. э.), Деревянная табличка из Ахмима[англ.] (ок. 1950 год до н. э.)[7].
В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[8].
Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались уже в трудах аль-Уклидиси, жившего на пять веков раньше[9].
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа 1 4 , 2 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}},2{\tfrac {1}{5}}} записывались таким способом: 1 4 , 2 I 5 . {\displaystyle {\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.} Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)[10]. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как 4 0 2 5 1 3 2 {\displaystyle {\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}} или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века[10].
На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами[10]. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
На русском:
На английском:
Lokasi Pengunjung: 18.117.141.164