PROFILPELAJAR.COM

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии. Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей являются гладкие поверхности, вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений. Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что и риманова метрика).

История

Отдельные свойства поверхностей вращения были известны ещё Архимеду. Развитие математического анализа в семнадцатом веке обеспечило более систематические подходы к их доказательству.

Кривизну поверхностей общего вида изучал Леонард Эйлер; в 1760 году им получено выражение для нормальных кривизн поверхности.^[1] В 1771 году^[2] он рассматривал поверхности, заданные в параметрической форме, ввёл понятие наложимости поверхностей (в современной терминологии — изометричность); в частности он рассмотрел поверхности, наложимые на плоскость. Таким образом Эйлер был первым, кто рассматривал внутреннюю геометрию поверхности.

Гаспар Монж рассматривал асимптотические кривые и линии кривизны на поверхностях.

Важнейший вклад в теорию поверхностей сделал Гаусс в двух статьях, написанных в 1825 и 1827 годах^[3]. В частности, им доказана так называемая Theorema Egregium — исторически важный результат, который говорит, что кривизна Гаусса является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Выделение дифференциальной геометрии в отдельную область исследований часто связывают именно с этой теоремой.^[4] Он ввёл понятие первой и второй квадратичных форм. Позже Карл Михайлович Петерсон вывел полную систему уравнений на квадратичные формы поверхности.

Ключевые результаты во внутренней геометрии поверхностей были получены Фердинандом Готлибовичем Миндингом. В частности, он ввёл понятие параллельного перенесения вдоль кривой, получившее дальнейшее развитие в работах Туллио Леви-Чивиты.

С конца XIX векa, большое внимание уделялось задаче об изометрическом погружении, изгибании поверхностей и задачам жёсткости. Важнейшие результаты были получены Александром Даниловичем Александровым, Давидом Гилбертом, Дмитрием Фёдоровичем Егоровым, Стефаном Кон-Фоссеном и другими.

Методы развитые в дифференциальной геометрии поверхностей сыграли основную роль в развитии римановой и александровской геометрий.

Основные понятия

Гладкая вложенная поверхность является основным объектом изучения дифференциальной геометрии поверхностей, точнее внешней геометрии поверхностей. Она определяется следующим образом: Подмножество $\Sigma$ евклидова пространства называется гладкой вложенной поверхностью (точнее гладкой регулярной вложенной поверхностью без края), если для любой точки $p\in \Sigma$ существует окрестность $U\ni p$ в $\Sigma$ , которая является графиком $z=f(x,y)$ гладкой функции $f$ в подходящим образом выбранной системе декартовых координат $(x,y,z)$ .

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура задаётся первой фундаментальной формой, то есть 2×2 положительно определённой матрицей, гладко меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Можно абстрагироваться от исходного вложения. То есть рассматривать абстрактную поверхность заданную локальными координатами с римановой метрикой. Это приводит к так называемой внутренней геометрии поверхностей, получившей дальнейшее развитие в римановой геометрии.

Центральную роль в исследовании поверхностей играет кривизна, в том числе главные кривизны, гауссова и средняя кривизны, а также тензорные описания кривизны, такие как оператор формы и вторая фундаментальная форма.

Большое внимание отводится и другим классам кривых на поверхности, включая геодезические, асимптотические кривые и линии кривизны.

Основные результаты теории относятся к свойствам выпуклых, седловых поверхностей, поверхностей вращения, поверхностей постоянной средней кривизны и в частности минимальных поверхностей.

Конструкции

Сферическое отображение — отображение при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке.

Трёхгранник Дарбу естественный репер для кривой на поверхности, используется в определении геодезической и нормальной кривизны.

Технические утверждения

Формула Эйлера позволяет вычислить нормальную кривизну поверхности.

Теорема Мёнье — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

Фундаментальные теоремы

Лемма Гаусса о геодезических — утверждает, что любая достаточно малая окружность с центром в точке поверхности перпендикулярна каждой геодезической кривой из центра. Используется в доказательстве того, что геодезические кривые являются локально кратчайшими кривыми. Также играет ключевую роль в доказательстве свойств нормальных и полугеодезических координат

Уравнения Петерсона ― Кодацци дают локальные условия на первую и вторую квадратичные формы поверхности.

Теорема об униформизации — гарантирует существование конформной параметризации данной поверхности поверхностью постоянной гауссовой кривизны.

Формула Гаусса — Бонне — даёт выражение на интеграл гауссовой кривизны по области на поверхности.

Теорема сравнения Александрова — даёт оценки на углы геодезического треугольника.

Открытые вопросы

Задача изометричного вложения. Остаётся открытым вопрос, любая ли абстрактно заданная поверхность допускает изометрическое вложение в евклидово пространство размерности 3. Это так называемая «уравнение Вейля»^[5].
- Результат Якобовича^[6] и Позняка^[7] даёт положительный ответ для вложений в 4-х мерное пространство.
- В 1926 году Морис Жане доказал, решил задачу для аналитических метрик.
- Теорема Александрова о вложении говорит, что любая достаточно гладкая метрика на сфере с положительной гауссовой кривизной изометрична замкнутой выпуклой поверхности в $\mathbb {E} ^{3}$ . Аналогичный результат для аналитических метрик был получен ранее Вейлем.^[8]

Гипотеза Каратеодори: Гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по меньшей мере две точки округления. Первой работой по этой гипотезе была работа Ганса Гамбургера в 1924, который заметил, что гипотеза следует из следующего более строгого утверждения: Полуцелый индекс расслоения главной кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.

Гипотеза Вилмора^[англ.]. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, вложенного в $\mathbb {E} ^{3}$ , должен быть ограничен снизу величиной $2\pi ^{2}$ . Известно, что интеграл является инвариантом Мёбиуса. Гипотезу решили в 2012 Фернандо Кода Маркес и Андрк Невес^[9].

Примечания

↑ Euler, 1760.
↑ Euler, 1771.
↑ Gauss, 1902.
↑ Топоногов, 2012, с. 132.
↑ Han, Hong, 2006.
↑ Jacobowitz, 1972.
↑ Poznjak, 1973.
↑ Погорелов А. В. Изгибание выпуклых поверхностей ГИТТЛ (1951)
↑ Marques, Neves, 2014, с. 683–782.

Ссылки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ : [арх. 8 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Литература

С. Э. Кон-Фоссен, Д. Гильберт. Наглядная геометрия. — М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. — 302 с.

До Кармо, М. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Москва, Ижевск, 2013. — ISBN 978-5-4344-0150-0.

Погорелов, А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е издание. — М.: Наука, 1974.

Позняк Э. Г. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства. — 1973. — Т. 28, вып. 4. — С. 47–77. — doi:10.1070/RM1973v028n04ABEH001591.

Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е издание. — М.: ГИТТЛ, 1950.

Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

Чернавский, А. В. Дифференциальная геометрия, 2-й курс.

Recherches sur la courbure des surfaces // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. — 1760. — Т. 16. — С. 119–143.. Дата публикации — 1767

Leonhard Euler. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. — 1771. — Т. 16. — С. 3–34.. Дата публикации — 1772

Carl Friedrich Gauss. General Investigations of Curved Surfaces of 1825 and 1827. — Princeton University Library, 1902.

Qing Han, Jia-Xing Hong. Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces. — 2006. — ISBN 978-0-8218-4071-9.

Howard Jacobowitz. Local Isometric Embeddings of Surfaces into Euclidean Four Space // Indiana Univ. Math. J.. — 1972. — Т. 21, вып. 3. — С. 249–254. — doi:10.1512/iumj.1971.21.21019.

Fernando Codá Marques, André Neves. Min-Max theory and the Willmore conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179, вып. 2. — doi:10.4007/annals.2014.179.2.6. — arXiv:1202.6036. — JSTOR 24522767.