PROFILPELAJAR.COM

Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов $n$ -мерного проективного пространства над полем $k$ . Группу ввёл в рассмотрение в 1863—1865 годах Луиджи Кремона^[1]^[2]. Группа обозначается как $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ , $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ или $Cr_{n}(k)$ .

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ поля рациональных функций от $n$ неизвестных над $k$ , или трансцендентным расширением поля $k$ со степенью трансцендентности $n$ .

Проективная полная линейная группа порядка $n+1$ проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка $n$ . Они совпадают только в случаях, когда $n=0$ или $n=1$ , в которых числитель и знаменатель преобразования линейны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

В пространствах размерности два Гизатуллин^[3] дал полное описание соотношений для системы образующих группы. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп.

Серж Канта и Стефан Лами^[4] показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа.
Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп, замкнутых в естественной топологии.
Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы Кремоны^[5].

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. Бланк^[6] показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос Серра^[7]. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку Хадсон^[8] показала, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом.

Группы де Жонкьера

Группа де Жонкьера^[9] — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности $x_{1},...,x_{n}$ для расширения поля $k$ . Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов $k(x_{1},...,x_{n})$ , отображающих подполе $k(x_{1},...,x_{r})$ в себя для некоторого $r\leqslant n$ . Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов $k(x_{1},...,x_{n})$ над полем $k(x_{1},...,x_{r})$ , а фактор-группа является группой Кремоны $k(x_{1},...,x_{r})$ над полем $k$ . Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка $\mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}$ .

Если $n=2$ и $r=1$ , группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ и $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$ .

Примечания

↑ Cremona, 1863, с. 305–311.
↑ Cremona, 1865, с. 269–280, 363–376.
↑ Гизатуллин, 1982.
↑ Cantat, Lamy, 2010.
↑ Dolgachev, Iskovskikh, 2009.
↑ Blanc, 2010.
↑ Serre, 2010.
↑ Hudson, 1927.
↑ Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера:
преобразование де-Жонкьера: $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ , где $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots ,x_{n}),a_{i}\neq 0$ и $f_{i}$ — произвольный многочлен от переменных $x_{i+1},\dots ,x_{n}$ .

Литература

Maria Alberich-Carramiñana. Geometry of the plane Cremona maps. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 1769. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-42816-9. — doi:10.1007/b82933.
Jérémy Blanc. Groupes de Cremona, connexité et simplicité // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 2010. — Т. 43, вып. 2. — С. 357–364. — ISSN 0012-9593. — doi:10.24033/asens.2123.
Serge Cantat, Stéphane Lamy. Normal subgroups in the Cremona group // Acta Mathematica. — 2010. — Т. 210, вып. 2013. — С. 31–94. — Bibcode: 2010arXiv1007.0895C. — arXiv:1007.0895.
Julian Lowell Coolidge. A treatise on algebraic plane curves. — Oxford University Press, 1931. — ISBN 978-0-486-49576-7.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane. — Giornale di matematiche di Battaglini. — 1863. — Т. 1.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. — 1865. — Т. 3.
Michel Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1970. — Т. 3. — С. 507–588. — ISSN 0012-9593.
Igor V. Dolgachev. Classical Algebraic Geometry: a modern view. — Cambridge University Press, 2012. — ISBN 978-1-107-01765-8. Архивная копия от 31 мая 2014 на Wayback Machine
Igor V. Dolgachev, Vasily A. Iskovskikh. Finite subgroups of the plane Cremona group // Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2009. — Т. 269. — С. 443–548. — (Progr. Math.). — ISBN 978-0-8176-4744-5. — doi:10.1007/978-0-8176-4745-2_11.
Долгачёв И.В., Исковских В.А. Геометрия алгебраических многообразий. — 1974. — Т. 12. — С. 77=170. — (Итоги науки и техники. Сер. Алгебра, Топология, Геометрия).
Гизатуллин М. Х. Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости // Изв. АН СССР.. — 1982. — Т. 46, № 5. — С. 211–268.
Lucien Godeaux. Les transformations birationelles du plan. — Gauthier-Villars et Cie, 1927. — Т. 22. — (Mémorial des sciences mathématiques).
Michiel Hazewinkel. Cremona group, Cremona transformation // Encyclopedia of Mathematics. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
Hilda Phoebe Hudson. Cremona transformations in plane and space. — Cambridge University Press, 1927. — ISBN 978-0-521-35882-8.
Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. — The Clarendon Press Oxford University Press, 1985. — (Oxford Science Publications). — ISBN 978-0-19-853363-4.
Jean-Pierre Serre. A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field // Moscow Mathematical Journal. — 2009. — Т. 9, вып. 1. — С. 193–208. — ISSN 1609-3321.
Jean-Pierre Serre. Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis. — Astérisque. — 2010. — С. 75–100. — (Seminaire Bourbaki 1000). — ISBN 978-2-85629-291-4.