Вюрц — воспитанник в клуба «Скиве» из своего родного города. В 2000 году он дебютировал за основную команду в первом датском дивизионе. Летом 2002 года Расмус перешёл в «Ольборг». В том же году он дебютировал в датской Суперлиге. В 2007 году после продолжительного выступления за клуб, Вюртс перешёл в столичный «Копенгаген», подписав контракт на пять лет[3]. Сумма трансфера составила 500 тыс. евро[4]. Почти сразу же он получил травму и долгое время не мог набрать форму. В начале 2009 года для получения игровой практики Расмус на правах аренды перешёл в «Вайле»[5]. 1 марта в матче против «Норшелланна» он дебютировал за новую команду[6]. 10 апреля в поединке против «Мидтьюллана» Вюрц забил свой первый гол за «Вайле»[7].
Летом 2009 года Расмус вернулся в «Ольборг», подписав контракт на четыре года. В конце 2012 года он продлил соглашение ещё на три года. В 2014 году Вюрц помог команде выиграть чемпионат и завоевать Кубок Дании.