Родился в Москве, в старом доме в Самарском переулке. Отец, Макар Николаевич, и мать, Анна Фёдоровна, увлекались лыжами, были конькобежцами. Старший брат, Николай Бабич, 1916 г. р., был в довоенные годы одним из лучших хоккеистов Советского Союза, неоднократно выступал за сборную Москвы. В 1940 году сыграл 24 игры, забил 6 голов за футбольный клуб «Буревестник» (Москва) (группа «Б»). Сестра, Надежда, выступала долгие годы за команду «Буревестник», которую возглавляла заслуженный мастер спорта Вера Прокофьева. Воспитанник детских команд Союза кооперации и торговли. До карьеры в хоккее с шайбой известен выступлениями в хоккее с мячом. В 1940 году сыграл 2 игры за московский «Буревестник».
С 1941 года в рядах Красной армии. Курсант и преподаватель Горьковского военного училища. В 1946 году Борис Аркадьев увидел Бабича на поле и взял его в дубль армейской команды. За основной состав Бабич сыграл 9 игр, забил 1 гол.
Известен Евгений Бабич больше как хоккеист с шайбой. В 1953 году был чемпионом Всемирных зимних студенческих игр, стал заслуженным мастером спорта. В 1954—1957 входил в состав сборной команды СССР. В 1956 году на Олимпийских играх он с командой завоевал первые золотые медали для сборной СССР.
После окончания карьеры несколько лет работал тренером. С 1970 года работал простым инструктором в объединении «Союзспортобеспечение» и, несмотря на сравнительное благополучие, страдал от депрессии, неоднократно высказывал знакомым мысли о самоубийстве. 11 июня 1972 года Евгений Бабич повесился в ванной своей квартиры.
Сын Николай — Чрезвычайный и полномочный посол Российской Федерации в Гватемале в 2011—2017 годах[1][2].
Награды
орден Трудового Красного Знамени (27.04.1957) — «за успехи, достигнутые в деле развития массового физкультурного движения в стране, повышения мастерства советских спортсменов, и успешное выступление на международных соревнованиях»
.svg){kind=small}