PROFILPELAJAR.COM

В математическом анализе абсолютным отклонением двух функций на заданном сегменте называется следующее значение:

\Delta =\sup _{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-g(x)|

,

где $f(x),g(x)$ — некоторые функции, $[a,b]$ — сегмент, $\sup$ — операция взятия супремума^[1].

В статистике абсолютное отклонение элементов в совокупности данных — абсолютная разница между элементом и выбранной точкой, от которой отсчитывается отклонение. В случаях, когда заведомо известно, что выбранная точка является константой, а распределение элементов данных симметрично относительно неё, — при отсутствии дополнительных данных за точку отсчёта абсолютного отклонения принимается медиана или среднее значение рассматриваемой совокупности данных:

|D|=|x_{i}-m(X)|,

где

|D|

— абсолютное отклонение,

x_{i}

— элемент совокупности данных,

m(X)

— одно из средних значений совокупности данных; это может быть среднее арифметическое (

{\overline {x}}

), но чаще всего в качестве среднего значения берётся медиана.

Среднее абсолютное отклонение, или просто среднее отклонение (англ. MAD, mean absolute deviation) — величина, используемая для оценки прогнозных функций:

$MAD={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|$

Расчёт среднего отклонения, так же, как и стандартного отклонения, может использоваться для оценки разброса значений в наборе данных. Выбор между двумя метриками осуществляется исходя из распределения данных. Если данные распределены нормально, используется стандартное отклонение. Если нет — среднее отклонение^[2]. Среднее абсолютное отклонение использовалось в качестве оценки отклонения в исследовании операций на заре развития вычислительной техники, так как требовало меньших затрат вычислительных ресурсов по сравнению с более целесообразным среднеквадратическим отклонением^[3].

Выбор среднего значения $m(X)$ сильно влияет на среднее отклонение. Например, для совокупности {2, 2, 3, 4, 14}:

Среднее значение $m(X)$	Среднее абсолютное отклонение
Среднее арифметическое = 5	${\frac {\|2-5\|+\|2-5\|+\|3-5\|+\|4-5\|+\|14-5\|}{5}}=3.6$
Медиана = 3	${\frac {\|2-3\|+\|2-3\|+\|3-3\|+\|4-3\|+\|14-3\|}{5}}=2.8$
Мода = 2	${\frac {\|2-2\|+\|2-2\|+\|3-2\|+\|4-2\|+\|14-2\|}{5}}=3.0$

Если в качестве средней величины выбрать медиану, то среднее абсолютное отклонение окажется наименьшим (из определения медианы). Если же выбрать среднее арифметическое — минимальным окажется среднее квадратическое отклонение: таким образом может определяться само среднее арифметическое^[4].

См. также

Примечания

↑ Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 624 с. ISBN 5-02-014505-X. С. 160
↑ Tarver, Evan The difference between standard deviation and average deviation (неопр.).
↑ Исследование операций: В 2-х томах. Пер. с англ./Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. — М.: Мир, 1981. 677 с, ил. С.21-22
↑ Определение среднего арифметического, равносильное классическому о том, что среднее арифметическое -- это сумма, делённая на количество. (неопр.)