Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.
În matematică o varietate hiperbolică este un spațiu în care fiecare punct arată local ca un spațiu hiperbolic de o anumită dimensiune. Ele sunt studiate în special în dimensiunile 2 și 3, unde sunt numite suprafețe Riemann(d) hiperbolice, respectiv 3-varietăți hiperbolice. În aceste dimensiuni ele sunt importante deoarece majoritatea varietăților pot fi transformate într-o varietate hiperbolică printr-un homeomorfism(d). Aceasta este o consecință a teoremei de uniformizare(d) pentru suprafețe și a teoremei de geometrizare(d) pentru 3-varietăți demonstrată de Perelman.
Orice varietate simplu conexă, completă, cu curbură negativă constantă −1 este izometrică în spațiul hiperbolic real . Ca rezultat, acoperirea universală a oricărei varietăți închise M cu curbură negativă constantă −1 este . Astfel, fiecare astfel de M poate fi scrisă ca unde este un grup discret de izometrii fără torsiune pe . Adică este un subgrup discret al . Varietatea are volum finit dacă și numai dacă este o rețea (subgrup discret).
Exemple
Cel mai simplu exemplu de varietate hiperbolica este spațiul hiperbolic, deoarece fiecare punct din spațiul hiperbolic are o vecinătate izometrică cu spațiul hiperbolic.
Un exemplu simplu, netrivial, este un tor cu o singură perforație. Acesta este un exemplu de (Isom(), ) -varietate. Acesta poate fi formată luând un dreptunghi ideal în — adică un dreptunghi în care vârfurile sunt pe frontiera de la infinit, prin urmare, nu există în varietatea rezultată — și făcând să fie identice imaginile opuse.
Similar se poate construi sfera cu trei perforații, prezentată alături, prin lipirea a două triunghiuri ideale împreună. Figura arată cum trebuie desenate curbele pe suprafață — linia neagră din diagramă devine o curbă închisă atunci când marginile verzi sunt lipite împreună. Deoarece se lucrează cu o sferă perforată, cercurile colorate din suprafață (inclusiv limitele lor) nu fac parte din suprafață, prin urmare sunt reprezentate în diagramă ca vârfuri ideale.