Teoria probabilităților

Teoria probabilităților este o ramură a matematicii care studiază modul în care se desfășoară fenomenele aleatoare, opuse celor numite deterministe. În lumea înconjurătoare, fenomenele deterministe ocupă doar o mică parte. Imensa majoritate a fenomenelor din natură și societate sunt stocastice (aleatoare). Studiul acestora nu poate fi făcut pe cale deterministă și, de aceea, știința hazardului a apărut ca o necesitate.

Aplicarea matematicii la studierea fenomenelor aleatoare se bazează pe faptul că, prin repetarea de mai multe ori a unui experiment, în condiții practic identice, frecvența relativă a apariției unui anumit rezultat (raportul dintre numărul experimentelor în care apare rezultatul și numărul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ același, oscilând în jurul unui număr constant. Dacă acest lucru se întâmplă, atunci unui eveniment dat i se poate asocia un număr, anume probabilitatea sa. Această legătură între structura unui câmp de evenimente și număr este o reflectare în matematică a transformării calității în cantitate. Problema convertirii în număr a unui câmp de evenimente revine la a defini o funcție numerică pe această structură, care să fie o măsură a posibilităților de realizare a evenimentelor. Realizarea unui eveniment fiind probabilă, această funcție se numește probabilitate.

Scurt istoric

Începuturile teoriei probabilităților sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal și Pierre Fermat în secolul al XVII-lea, ajungând la probleme legate de probabilitate datorită jocurilor de noroc. Dezvoltarea teoriei probabilităților și cercetarea unor probleme nelegate de jocurile de noroc sunt legate de matematicienii: Abraham Moivre, Pierre-Simon Laplace, Carl Friedrich Gauss, Simon-Denis Poisson, Pafnuti Lvovici Cebîșev, Andrei Andreevici Markov în secolul XIX, iar în secolul al XX-lea Andrei Nikolaevici Kolmogorov și al lui Alexandr Iakovlevici Hincin.

Teoria probabilităților a fost aplicată și la studiul dinamicii particulelor microscopice ale sistem termodinamic de Maxwell și Boltzmann, în teoria cinetică a gazelor[1].

Probabilitatea evenimentelor aleatoare

Clasificarea evenimentelor

a) sigur - evenimentul apariției uneia din fețele 1,2,3,4,5,6 ale unui zar;
b) imposibil- evenimentul apariției feței 7 la aruncarea unui zar;
c) aleator - evenimentul apariției feței 3 la aruncarea unui zar.

Frecvența unui eveniment

= , unde m reprezintă numărul de apariții E în cazul a n încercări.

Probabilitatea unor evenimente aleatoare

În cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul E apare de m ori, frecvența relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităților. Această valoare se numește probabilitatea (statistică a) evenimentului E și se notează P(E); .

Evenimente incompatibile, contrare

  • Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan.
  • Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte.

Regula de adunare și cea de înmulțire

  • Regula de adunare

Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P(EEEE... E)=P(E)+P(E)+P(E)+ P(E)+...+P(E).

  • Regula de înmulțire
  • pentru evenimente independente: P(EF)=P(E) P(F)
  • pentru evenimente condiționate: P(EF)=P(F) P(E/F) Ex:·         Fie A și B dou ă evenimente: Pr(A ∩B) = Pr(A)·Pr(B|A) •Evenimente independente Pr(B|A) = Pr(B) A = {TAS mam ă > 140 mmHg}, Pr(A) = 0,10 • B = {TAS tat ă > 140 mmHg}, Pr(B) = 0,20 • Pr(A ∩B) = 0,05 • Evenimentele A Și B sunt dependente sau independente? Pr(A ∩B) = Pr(A)·Pr(B) – evenimente independente 0,05 ≠ 0,10·0,20 → evenimente dependent

Câmp de evenimente. Câmp Borel de evenimente

  1. Mulțimea S e un element a lui B.
  2. Dacă două mulțimi E și E sunt elemente ale lui B atunci EE, EE sunt elemente ale lui B.
  3. Dacă mulțimile E, E, ..., E, ... sunt elemente ale lui B, atunci EE...E... și EE...E sunt de asemenea elemente ale lui B.
  • Câmp de evenimente - condițiile 1 și 2
  • Câmp Borel de evenimente - condițiile 1, 2, 3.

Sistemul de axiome Kolmogorov

Axioma 1. Fiecărui eveniment aleator E din câmpul de evenimente îi este atașat un număr real nenegativ P(E) numit probabilitatea lui E.

Axioma 2. Probabilitatea evenimentului sigur S P(S)=1.

Axioma 3. Dacă evenimentele E, E sunt incompatibile două câte două, atunci P(EE... E)=P(E)+P(E)+...+P(E)
Axioma de adunare extinsă. Dacă apariția unui eveniment E echivalentă cu apariția unui oarecare eveniment E,..., E, ... incompatibile două câte două, atunci P(E)=P(E)+P(E)+...+P(E)+...

Variabile aleatoare și repartiții

Variabilă aleatoare: variabila ia valori diferite în cazul mai multor experimente efectuate în aceleași condiții.
Variabila aleatoare discretă: poate lua un număr finit de valori.
Variabila aleatoare continuă: poate lua un număr infinit de valori.
Repartiția: mulțimea, a cărei elemente sunt perechile formate din valorile pe care poate să le ia variabila și probabilitatea corespunzătoare.

Valoarea medie și dispersia

Valoarea medie

Variabila aleatoare X ce ia valorile x și probabilitățile corespunzătoare p
=
Variabila continuă X și f(x) - densitatea de repartiție continuă
=

Valorile medii ale sumelor și produselor de variabile aleatoare

Valoarea medie a sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii a celor două variabile aleatoare M(Z)=M(X)+M(Y), unde Z=X+Y, tot variabilă aleatoare. Valoarea medie a produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale variabilelor aleatoare M(Z)=M(X)×M(Y).

Dispersia pentru o variabilă aleatoare discretă

Dispersia σ² sau D(x) este o măsură pentru devierea de la medie. Se obține prin însumarea produselor dintre pătratul devierii de la medie (x - μ) și probabilitatea corespunzătoare.

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

Dispersia σ² sau D(x) este o măsură pentru devierea de la medie. Se obține prin integrarea de la - ∞ la + ∞ a produsului dintre pătratul abaterii de la medie (x-μ) și densitatea de repartiție f(x).

Dispersia sumei a două variabile aleatoare independente

Dispersia unei sume de două variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor celor două variabile σ²=σ²+σ²

Inegalitatea lui Cebîșev

Fie X o variabilă discretă sau continuă cu valorile x, valoare medie μ și dispersia σ². Probabilitatea ca modulul diferenței (x-μ) să fie mai mare sau egal cu un număr oarecare ε>0 este mai mică sau egală cu câtul dintre dispersia σ² și pătratul lui ε.

Legea numerelor mari

  • Jakob Bernoulli

Probabilitatea ca modulul diferenței dintre frecvența relativă a evenimentului E în cazul a n experimente (n suficient de mare) și probabilitatea p a evenimentului E să fie mai mic ca ε pozitiv, arbitrar de mic e aproximativ egală cu unu.

  • Pafnuti Cebîșev

Probabilitatea ca modulul diferenței dintre media aritmetică A a valorilor medii a n variabile aleatoare independente (n suficient de mare) și media aritmetică a variabilelor aleatoare să fie mai mică decât ε e aproximativ egală cu unu. .

Repartiții

  • Repartiția binomială (Bernoulli)
Legea de repartiție:
Media: μ = np
Dispersia: σ² = np(1-p)
Formula de recurență:
  • Repartiția Poisson

Este asemănătoare cu cea binomială, deosebindu-se prin faptul că n poate fi foarte mare (n-> ∞) și p foarte mic (p->0).

Legea de repartiție:
Media: a
Dispersia: a
Formula de recurență:
  • Repartiția Gauss (normală)
Densitatea de repartiție:
Media: μ=b
Dispersia: σ²=a²
  • Repartiția normală redusă
Densitatea de repartiție:
Media: μ=0
Dispersia: σ²=1

Cu ajutorul substituției λ=(x-μ)/σ și se face pentru a înlesni calculele.

  • Funcția de repartiție (integrala lui Gauss)

Teoreme limită pentru sume de variabile aleatoare independente

Teorema Moivre-Laplace

Unde n reprezintă experimentele, p probabilitatea ca E să apară și q=1-p probabilitatea ca E să nu apară.
->

Teorema limită centrală

Dacă variabilele aleatoare independente două câte două x, x, ..., x au aceeași repartiție și dacă μ=M(x) și σ²=Δ²(x)>0 atunci variabila aleatoare urmează o repartiție normală redusă.

Bibliografie

  • Mică enciclopedie matematică, Ed Tehnică, București (1980)
  • Nicolae Mihăileanu, Istoria matematicii, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981

Legături externe

Vezi și

  1. ^ * Nicolae N. Mihăileanu, vol. 2, (1981), p. 451

Read other articles:

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2023. Dalam artikel ini, nama keluarganya adalah Chiu. Chiu Yu-hung Chiu Yu-hung pada tahun 2015Informasi pribadiTanggal lahir 31 Agustus 1994 (umur 29)Tempat lahir Taipei, TaiwanTinggi 180 m (590 ft 7 in)Posisi bermain Penjaga gawangInf...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Wang Ch'ung-hui Menteri LuarNegeri Republik TiongkokMasa jabatan4 Maret 1937 – 10 April 1941 PendahuluChang Ch'unPenggantiQuo Tai-chiPerdana Menteri Republik TiongkokMasa jabatan5 Agustus 1922 – 29 November 1922 PendahuluYan Huiqi...

 

Obligasi pemerintah adalah suatu obligasi yang diterbitkan oleh pemerintahan suatu negara dalam denominasi mata uang negara tersebut. Obligasi pemerintah dalam denominasi valuta asing biasa disebut dengan obligasi internasional.[1] Risiko Obligasi pemerintah biasa disebut juga dengan obligasi bebas risiko sebab pemerintahan suatu negara dapat menaikkan pajak ataupun mencetak uang guna melunasi pembayaran obligasinya pada saat jatuh tempo. Memang terdapat catatan di mana obligasi pemer...

Jill CultonCulton pada tahun 2010AlmamaterCalifornia Institute of the ArtsPekerjaanSutradara, produser eksekutif, penulis, animator, perancang karakter, artis papan ceritaTahun aktif1993–sekarangTempat kerjaPixar Animation Studios (1993–2002)Sony Pictures Animation (2002–2009)DreamWorks Animation (2010–sekarang)Karya terkenalOpen Season Jill Culton adalah seorang animator asal Amerika Serikat. Ia dikenal karena debut penyutradaraannya pada film animasi pertama Sony, Open Season,...

 

J. S. WoodsworthFonctionDéputé à la Chambre des communes du CanadaWinnipeg-Nord-Centre29 octobre 1925 - 21 mars 1942Stanley KnowlesBiographieNaissance 29 juillet 1874EtobicokeDécès 21 mars 1942 (à 67 ans)VancouverNationalité canadienneDomicile Applewood Shaver House (d)Formation Université Victoria à l'Université de TorontoActivités Journaliste, homme politiquePère James Woodsworth (en)Enfant Grace MacInnis (en)Autres informationsPartis politiques Parti social démocratique d...

 

Cléopatra se suicidant karya Claude Bertin, sebelum 1697 (Musée du Louvre) Claude Bertin (wafat 1705) adalah seorang pemahat asal Prancis. Ia merupakan bagian dari tim magang tingkat tinggi yang membuat pahatan-pahatan untuk Versailles. Pranala luar Château de Versailles: Les oeuvres à restaurer en 2006[pranala nonaktif] Three vases by Bertin. Wikimedia Commons memiliki media mengenai Claude Bertin.

Failed rocket launch Vanguard SLV-5Vanguard rocket on LC-18A prior to its launchNamesVanguard Space Launch Vehicle-FiveMission typeMagnetic Field ExperimentAir Density ExperimentOperatorNaval Research LaboratoryMission durationFailed to orbit (500 seconds) Spacecraft propertiesSpacecraftVanguard 3ASpacecraft typeVanguardManufacturerNaval Research LaboratoryLaunch mass10.3 kg (23 lb) Start of missionLaunch date14 April 1959, 02:49:46 GMTRocketVanguard SLV-5Launch siteCape Canaveral, ...

 

Artikel ini berisi konten yang ditulis dengan gaya sebuah iklan. Bantulah memperbaiki artikel ini dengan menghapus konten yang dianggap sebagai spam dan pranala luar yang tidak sesuai, dan tambahkan konten ensiklopedis yang ditulis dari sudut pandang netral dan sesuai dengan kebijakan Wikipedia. (Juni 2018) Allen & Overy LLPMarkasOne Bishops Square, London, Inggris E1 6ADBritania RayaCabang44 di 31 negaraPengacara Rekan: sekitar 554 Advokat: sekitar 2.768[1] Karyawansekitar 5...

 

Trust Me!! PengarangNada NadidaJudul asli'Trust Me!!'IlustratorNada NadidaNegaraIndonesiaBahasaBahasa IndonesiaSeriPertamaGenreFiksiPenerbitLaskar IQRO'Tanggal terbit2011Halaman184ISBNISBN 978-602-97942-0-5 Trust Me!! adalah novel remaja yang ditulis oleh Nada Nadida. Sinopsis Grace dan Ai adalah kakak dan adik yang sangat akrab. Walaupun arti akrab” bagi mereka bisa berarti perdebatan, persaingan atau semacamnya. Grace, kakak laki-kakak Ai, membawa pengaruh besar bagi adik peremp...

Tumbuhan berpembuluh Periode Silur–Sekarang, 425–0 Ma[1][2] PreЄ Є O S D C P T J K Pg N Tracheophyta Tusam skotlandia Kemangi, tumbuhan berbiji tertutupTaksonomiSuperdomainBiotaSuperkerajaanEukaryotaKerajaanPlantaeSubkerajaanViridiplantaeInfrakerajaanStreptophytaSuperdivisiEmbryophytaDivisiTracheophyta Sinnott, 1935 Tata namaSinonim taksonPteridophyta Divisi† Punah Tumbuhan berbiji terbuka †Rhyniophyta †Zosterophyllophyta Lycopodiophyta †Trimerophytophyta Pterido...

 

Wakil Wali Kota PrabumulihLambang Kota PrabumulihPetahanaH. Andriansyah Fikri, S.H.sejak 18 September 2018Masa jabatan5 tahunDibentuk2003Pejabat pertamaYuri GagarinSitus webwww.kotaprabumulih.go.id Wakil Wali Kota Prabumulih adalah posisi kedua yang memerintah Kota Prabumulih di bawah Wali Kota Prabumulih. Posisi ini pertama kali dibentuk pada tahun 2003. Daftar No Potret Wakil Wali Kota Mulai Jabatan Akhir Jabatan Prd. Ket. Wali Kota 1 Yuri GagarinS.H. 2003 2008 1   Dr. Drs. H.Rach...

 

此條目翻譯品質不佳。翻譯者可能不熟悉中文或原文語言,也可能使用了機器翻譯。請協助翻譯本條目或重新編寫,并注意避免翻译腔的问题。明顯拙劣的翻譯請改掛{{d|G13}}提交刪除。  「希拉克」重定向至此。關於法国洛泽尔省的同名市镇,請見「希拉克 (洛泽尔省)」。 雅克·勒内·希拉克Jacques René Chirac 第22任法國總統安道爾大公任期1995年5月17日—2007年5月16日...

Sciences de gestionPartie de Sciences sociales et managementChamps Comptabilité Finance Logistique Marketing Stratégie Système d'information Théorie des organisations modifier - modifier le code - modifier Wikidata Les sciences de gestion ou sciences du management (auparavant connues également sous le nom de « sciences commerciales »[1]) sont une discipline des sciences sociales et du management principalement issue de l'économie, des mathématiques mais aussi du droit, de l...

 

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言,清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日(哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統) 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

 

ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Раннее христианство Гностическое христианство Вселенские соборы Н...

عرب الأرجنتينالتعداد الكليالتعداد 5,000,000مناطق الوجود المميزة في جميع أنحاء الأرجنتين في جميع أنحاء الأرجنتيناللغات الأسبانية، العربيةالدين الأغلبية مسيحية وأقلية مسلمةالمجموعات العرقية المرتبطةفرع من هجرة إلى الأرجنتين تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات عرب الأرج�...

 

American alternative rock band Porno for PyrosPorno for Pyros in 1993. Left to right: Perkins, DiStefano, LeNoble, FarrellBackground informationOriginLos Angeles, California, U.S.GenresAlternative rockYears active 1992–1998 2009 2020 2022–present LabelsWarner Bros.Members Perry Farrell Stephen Perkins Peter DiStefano Mike Watt Robin Hatch Past membersMartyn LeNoble Porno for Pyros is an American alternative rock band formed in Los Angeles, California, in 1992, following the first break-up...

 

Speaker's stand in a church For other uses, see Pulpit (disambiguation). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Pulpit – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2010) (Learn how and when to remove this message) The pulpit of the Notre-Dame de Revel in Revel, Haute-Garonne, France Pulp...

  لمعانٍ أخرى، طالع شفيلد (توضيح). شفيلد     الإحداثيات 34°45′35″N 87°41′41″W / 34.759721°N 87.694592°W / 34.759721; -87.694592   [1] تاريخ التأسيس 1885[2]  سبب التسمية شفيلد[3]  تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[4][5]  التقسيم الأعلى مقاطعة كولبيرت&#...

 

As of September 2022[update], there were 8,790 battery electric vehicles registered in Greece.[1] As of September 2022[update], 11.8% of new cars registered in Greece were electric.[2] Government policy As of July 2020[update], the Greek government offers subsidies of up to €6,000 for electric vehicle purchases, and €500 for charging station installations.[3] Charging stations As of June 2022[update], there were ...