În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.
În algebra liniară
Fie V un spatiu vectorial peste un corpF și fie X o mulțime. Funcțiile definite pe X cu valori în V pot primi structura de spațiu vectorial peste F unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice f,g: X → V , orice x din X și orice c din F, se definește
Atunci când domeniul X are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau subspațiul(d)) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă X este și spațiu vectorial peste F, mulțimea aplicațiilor liniareX → V formează un spațiu vectorial peste F cu operații pe puncte (adesea notate Hom(X, V)). Un astfel de spațiu este spațiul dual(d) al lui V: mulțimea formelor lineare(d)V → F cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.
Exemple
Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:
În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau YX.
Ca un caz special, mulțimea părților(d) unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2X.
Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu . Notatia factorial X! poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi X.
În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologicX cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este topologia compactă deschisă(d), cum ar fi spațiul buclă(d). Există și topologia produsului(d) pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) YX. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale.
În teoria reprezentării grupurilor finite(d), date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită reprezentarea Hom(d). [1]