În matematică, mulțimile vagi sunt mulțimi ale căror elemente au grade de apartenență. Mulțimile vagi sunt un concept folosit inițial de Lotfi A. Zadeh^[1] și de Dieter Klaua^[2] în 1965 ca o extensie a noțiunii clasice de mulțime. Spre deosebire de statistică și probabilitate, care se ocupă cu incertitudinea aleatorie obiectivă, mulțimile vagi au de-a face cu incertitudinea aleatorie subiectivă.

În paralel, Salii (1965)^[3] defini un tip de structură mai general numit o L-legătură, care a studiat într-un rezumat algebrice context. Fuzzy relații, care sunt utilizate în prezent în diferite domenii, cum ar fi lingvistica (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000) de luare a deciziilor (Kuzmin 1982) și clustering (Bezdek 1978), sunt cazuri speciale de L-relații atunci când Nu este unitate intervalul [0, 1].

Fie o mulțime S și ${\displaystyle V\subseteq S}$. O mulțime vagă a lui S poate fi definită ca o mulțime de perechi ordonate al căror prim element aparține mulțimii S, al doilea fiind valoarea funcției de apartenență ${\displaystyle \mu _{V}\colon S\rightarrow [0,1]}$ a primului element, numită grad de apartenență al lui ${\displaystyle x\in S}$ la ${\displaystyle V}$.^[4]

$${\displaystyle (V,\mu _{V})=\{(x;\mu _{V}(x))|x\in S\}}$$

Pentru o mulțime finită ${\displaystyle V=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$, mulțimea vagă ${\displaystyle (V,\mu _{V})}$ mai poate apărea ca ${\displaystyle \{\mu _{V}(x_{1})/x_{1},\mu _{V}(X_{2}),\dots ,\mu _{V}(x_{n})/x_{n}\}.}$ Mulțimea tuturor submulțimilor vagi, echivalentul în teoria clasică a mulțimilor a mulțimii părților, ale lui ${\displaystyle S}$ se notează ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S)}$.

• O mulțime vagă ${\displaystyle A}$ se numește normală dacă ${\displaystyle \exists x\in A}$ astfel încât ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1}$^[5]

• Funcție de apartenență

• Logică fuzzy