În geometrie un flexagon^[1] este un model plan, construit de obicei prin plierea unei benzi de hârtie, model care pot fi flexat sau pliat în anumite moduri pentru a prezenta și alte fețe pe lângă cele două care erau inițial în față și pe verso.^[1]

Flexagoanele sunt de obicei pătrate sau dreptunghiulare (tetraflexagoane) sau hexagonale (hexaflexagoane). Un prefix poate fi adăugat la nume pentru a indica numărul de fețe pe care modelul le poate afișa, inclusiv cele două fețe (față și verso) care sunt vizibile înainte de flexare. De exemplu, un hexaflexagon cu un total de șase fețe se numește hexahexaflexagon.^[2]

În teoria hexaflexagonului (adică în cea despre flexagoanele cu șase laturi), flexagoanele sunt de obicei definite în termeni de „parcurs” (în engleză pats)”.^[3][4][5]

Două flexagoane sunt echivalente dacă unul poate fi transformat în celălalt printr-o serie de strângeri (împăturiri), deschideri și rotiri.^[6] Echivalența flexagoanelor este o relație de echivalență.^[4]

Descoperirea primului flexagon, un trihexaflexagon, este atribuită matematicianului britanic Arthur Harold Stone, în timp ce era student la Universitatea Princeton din Statele Unite în 1939. Foile de hârtie în format american nu încăpeau în dosarul său englezesc, așa că a tăiat capetele hârtiei și a început să le plieze în diferite forme.^[1][7] Una dintre acestea a format un trihexaflexagon. Colegii lui Stone, Bryant Tuckerman, Richard Feynman și John Tukey, au devenit interesați de idee și au format Comitetul de Flexagoane Princeton.^[1] Tuckerman a elaborat o metodă topologică, numită parcursul Tuckerman, pentru a prezenta toate fețele unui flexagon.^[3][8] Parcursul Tuckerman este o diagramă.^[3]

Flexagoanele au fost prezentate publicului larg de Martin Gardner în numărul din decembrie 1956 al revistei Scientific American într-un articol atât de bine primit încât a lansat coloana „Jocuri matematice” (în engleză Mathematical Games) a lui Gardner, coloană care a apărut apoi în revista respectivă în următorii douăzeci și cinci de ani.^[7][9] În 1974 magicianul Doug Henning a inclus un hexaflexagon construit pe cont propriu în înregistrarea originală a emisiunii sale de pe Broadway The Magic Show.

În 1955, Russell Rogers și Leonard D'Andrea din Homestead, Pennsylvania au solicitat un brevet, iar în 1959 li s-a acordat brevetul american cu numărul 2.883.195 pentru hexahexaflexagon, sub titlul Changeable Amusement Devices and like (în română Dispozitive modificabile pentru distracție și altele asemenea). Brevetul lor descria posibile aplicații ale dispozitivului „ca jucărie, ca dispozitiv de afișare publicitară sau ca dispozitiv geometric educațional”.^[10] Câteva astfel de obiecte au fost produse de Herbick & Held Printing Company, compania de tipărire din Pittsburgh unde lucra Rogers, dar dispozitivul, comercializat sub denumirea „Hexmo”, nu a reușit să se impună.

Tritetraflexagonul este cel mai simplu tetraflexagon (flexagon cu laturi pătrate). „Tri” din nume înseamnă că are trei fețe, dintre care două sunt vizibile la un moment dat dacă flexagonul este aplatizat. Tritetraflexagonul are două capete, unde flexarea nu poate continua. Pentru a ajunge la o altă față trebuie fie să se flexeze înapoi, fie să se răstoarne flexagonul.

Un tritetraflexagon poate fi pliat dintr-o bandă de hârtie așa cum se arată	Această figură are două fețe vizibile, construite din pătrate marcate cu A și B. Fața C-urilor este ascunsă în interiorul flexagonului	Parcursul tritetraflexagonului

Un hexatetraflexagon ciclic mai complicat nu necesită lipire. Un hexatetraflexagon ciclic nu are capete, iar cel care îl manevrează poate să-l plieze în continuare până ajunge în poziția inițială. Dacă părțile laterale sunt colorate după fiecare flexare, stările pot fi văzute mai clar. Spre deosebire de tritetraflexagon, la hexatetraflexagon nu este necesar să fie flexat înapoi.

Hexaflexagoanele au multe variante, remarcându-se prin numărul de fețe care pot fi realizate prin flexarea figurii asamblate. (De reținut că termenul de „hexaflexagon” (fără prefixe) se poate referi uneori la un hexahexaflexagon obișnuit, cu șase fețe.)

Un triflexagon cu trei fețe este cel mai simplu dintre hexaflexagoanele de realizat și de gestionat și este realizat dintr-o singură bandă de hârtie, împărțită în nouă triunghiuri echilaterale. (Unele modele au zece triunghiuri, dintre care cele două din capete sunt lipite împreună la asamblarea finală.) ^[6]

Pentru asamblare, banda este pliată la fiecare al treilea triunghi, conectându-se înapoi cu ea însăși după trei inversări în maniera simbolului internațional al reciclării^⁠(d). Acest lucru produce o bandă Möbius a cărei latură unică formează un nod de treflă.

Hexaflexagoanele au multe variante, remarcându-se prin numărul de fețe care pot fi realizate prin flexarea figurii asamblate. De reținut că termenul de „hexaflexagon” (fără prefixe) se poate referi uneori la un hexahexaflexagon obișnuit, cu șase fețe.

Un triflexagon cu trei fețe este cel mai simplu dintre hexaflexagonele de realizat și de gestionat și este realizat dintr-o singură bandă de hârtie, împărțită în nouă triunghiuri echilaterale. (Unele modele au zece triunghiuri, dintre care cele două din capete sunt lipite împreună la asamblarea finală.) ^[6]

Pentru asamblare, banda este pliată la fiecare al treilea triunghi, conectându-se înapoi cu ea însăși după trei inversări în maniera simbolului internațional al reciclării^⁠(d). Acest lucru produce o bandă Möbius a cărei latură unică formează un nod de treflă.

Acest hexaflexagon are șase fețe. Este alcătuit din nouăsprezece triunghiuri pliate dintr-o fâșie de hârtie.

Odată asamblat, fețele 1, 2 și 3 sunt mai ușor de expus decât fețele 4, 5 și 6.^[3]

Un mod simplu de a expune toate cele șase fețe este utilizarea parcursului Tuckerman, numită după Bryant Tuckerman, unul dintre primii care a investigat proprietățile hexaflexagoanelor. Parcursul Tuckerman implică flexarea (strîngerea și deschiderea) repetată unui aceluiași colț până când colțul refuză să se deschidă, apoi mutarea la colțul adiacent tot în același sens și continuarea flexării. Această procedură vă avea un ciclu de 12 fețe. În timpul acestei proceduri fețele 1, 2 și 3 apar de trei ori mai des decât 4, 5 și 6. Ciclul decurge după cum urmează:

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2

și se ajunge din nou la 1.^[3]

De asemenea, fiecare față poate fi expusă în mai multe moduri. De exemplu în figura 6 fiecare triunghi albastru are în centru colțul său marcat cu un „V”, dar este și posibil să se facă să vină în centru colțurile marcate cu „Y”. Există 18 astfel de configurații posibile pentru triunghiuri de culori diferite și în teorie pot fi văzute prin flexarea hexahexaflexagonului în toate modurile posibile, dar numai 15 configurații pot fi flexate la hexahexaflexagonul obișnuit. Cele 3 configurații suplimentare sunt imposibile datorită aranjamentului celor 4, 5 și 6 fețe pe partea din spate. (Unghiurile de 60 de grade din romburile formate de triunghiurile adiacente în fețele 4, 5 sau 6 vor apărea doar pe părțile laterale și nu vor apărea niciodată în centru, deoarece ar fi nevoie de o manevră de tăiere a benzii, ceea ce este interzis topologic.) ^[11]

Hexahexaflexagooanele pot fi construite din diferite forme de rețele de optsprezece triunghiuri echilaterale. Un hexahexaflexagon, construit dintr-o bandă de hârtie neregulată, este aproape identic cu cel prezentat mai sus, cu excepția faptului că în această versiune toate cele 18 configurații pot fi flexate.^[12]

În timp ce hexaflexagoanele cel mai frecvent întâlnite au trei sau șase fețe, există variante cu orice număr de fețe. Benzile drepte produc hexaflexagoane cu un număr de fețe multiplu de trei. Alte numere se obțin din benzi care nu sunt drepte, adică benzi drepte cu unele îmbinări pliate și eliminând unele fețe. Multe benzi pot fi pliate în moduri diferite, producând diferite hexaflexagoane, cu parcursuri de pliere diferite.^[13]

În aceste flexagoane descoperite mai recent, fiecare față triunghiulară pătrată sau echilaterală a unui flexagon convențional este împărțită în continuare în două triunghiuri dreptunghice, permițând moduri suplimentare de flexare.^[14] Divizarea fețelor pătrate ale tetraflexagoanelor în triunghiuri isoscele drepte dă octoflexagoanele,^[15] iar divizarea fețelor triunghiulare ale hexaflexagoanelor în triunghiuri dreptunghice cu unghiurile de 30°, 60° și 90° dă dodecaflexagoanele.^[16]

În starea sa aplatizată, pentaflexagonul seamănă mult ca sigla Chrysler: un pentagon regulat divizat la centru în cinci triunghiuri isoscele cu unghiurile de 72°, 54° și 54°. Datorită simetriei sale cu cinci poziții, pentaflexagonul nu poate fi pliat în jumătate. Totuși, o serie complexă de flexări are ca rezultat transformarea sa de la afișarea fețelor 1 și 2 pe față și din spate, la afișarea fețelor 3 și 4, anterior ascunse.^[17]

Prin divizarea în continuare a triunghiurilor 72°, 54° și 54° ale pentaflexagonului în triunghiuri dreptunghiulare cu unghiurile de 36°, 54° și 90° se produce o variantă a decaflexagonului cu 10 fețe.^[18]

Pentaflexagonul este unul dintr-o succesiune infinită de flexagoane bazată pe împărțirea unui n-gon regulat în n triunghiuri isoscele. Alte flexagoane cuprind heptaflexagonul,^[19] octoflexagonul isoscel,^[20] eneaflexagonul,^[21] și altele.

Harold V. McIntosh descrie flexagoanele „neplanare” (adică, cele care nu pot fi îndoite astfel încât să fie aplatizate); cele pliate din pentagoane, numite pentaflexagoane,^[22] și din heptagoane, numite heptaflexagoane.^[23] Acestea ar trebui să fie deosebite de pentaflexagoanele și heptaflexagoanele „obișnuite” descrise mai sus, care sunt alcătuite din triunghiuri isoscele și pot fi aplatizate.

• Gardner, Martin (1968). Amuzamente matematice. Cartea întâi: 1 Hexaflexagoane. București: Editura științifică. 
• en Martin Gardner wrote an excellent introduction to hexaflexagons in the December 1956 Mathematical Games column in Scientific American. It also appears in:

• en The "Scientific American" Book of Mathematical Puzzles and Diversions. Simon & Schuster. 1959. 
• en Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First "Scientific American" Book of Puzzles and Games. University of Chicago Press. 1988. ISBN 0-226-28254-6. 
• en The Colossal Book of Mathematics. W. W. Norton & Co. 2001. ISBN 0-393-02023-1. 
• en Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi: Martin Gardner's First Book of Mathematical Puzzles and Games. Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-73525-4. 
• en Gardner, Martin (ianuarie 2012). „Hexaflexagons”. The College Mathematics Journal. 43 (1): 2–5. doi:10.4169/college.math.j.43.1.002. JSTOR 10.4169/college.math.j.43.1.002.  The issue also contains another article by Pook, and one by Iacob, McLean, and Hua.

• en Jones, Madeline (1966). The Mysterious Flexagons: An Introduction to a Fascinating New Concept in Paper Folding. Crown Publishers. 
• en Mitchell, David (2000). The Magic of Flexagons – Paper curiosities to cut out and make. Tarquin. ISBN 1-899618-28-7. 
• en Pook, Les (2006). Flexagons Inside Out. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81970-9. 
• en Pook, Les (2009). Serious Fun with Flexagons, A Compendium and Guide. Springer. ISBN 978-90-481-2502-9. 

• Teoria geometrică a grupurilor
• Poliedru flexibil
• Caleidociclu

• Materiale media legate de flexagon la Wikimedia Commons
• en My Flexagon Experiences by Harold V. McIntosh – contains historical information and theory
• en The Flexagon Portal – Robin Moseley's site has patterns for a large variety of flexagons.
• en Flexagons
• en Flexagons – Scott Sherman's site, with variety of flexagons of different shapes.

• en Eric W. Weisstein, Tetraflexagons la MathWorld., cu 3 desfășurate
• en Flexagons – 1962 paper by Antony S. Conrad and Daniel K. Hartline (RIAS)
• en MathWorld entry on Hexaflexagons
• en Yutaka Nishiyama (2010). "General Solution for Multiple Foldings of Hexaflexagons" IJPAM, Vol. 58, No. 1, 113-124. "19 faces of Flexagons"
• en Vi Hart's video on Hexaflexagons part 1 part 2