Numere iraționale și probabil iraționale: γ – φ – e – π

Constanta matematică e este un număr irațional transcendent care poate fi caracterizat în mai multe moduri. Este bază a logaritmilor naturali. O proprietate esențială este că valoarea derivatei funcției f(x) = e^x în punctul x = 0 este exact 1. Funcția e^x este numită funcție exponențială, și inversa ei este logaritmul natural, sau logaritmul în baza e.

Numărul e este uneori numit și numărul lui Euler după matematicianul elvețian Leonhard Euler, sau constanta lui Napier în cinstea matematicianului scoțian John Napier, care a introdus logaritmii (e nu trebuie confundat cu γ, constanta Euler-Mascheroni, și ea numită uneori constanta lui Euler). Lui Jakob Bernoulli i se datorează punerea în evidență a acestui număr ce nu era cunoscut în Antichitate, prin studiul acumulării masei monetare în conturi bancare, fenomen numit dobândă.

Deoarece e este un număr irațional (și transcendent), valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit sau infinit periodic de zecimale. O valoare aproximativă, cu 20 de zecimale exacte, este e≈2,71828 18284 59045 23536. Apare în suma infinită de fracții a inverselor factorialelor numerelor întregi de la 0 la n, n infinit.

Prima referință la această constantă datează din 1618, un tabel dintr-o anexă a unei lucrări despre logaritmi, scrisă de John Napier.^[1] Totuși, aici nu era menționată constanta însăși, ci doar o listă de logaritmi naturali calculați pe baza ei. Se presupune că acel tabel a fost alcătuit de William Oughtred. "Descoperirea" constantei însăși îi este atribuită lui Jakob Bernoulli, care a încercat să găsească valoarea următoarei expresii (care este de fapt chiar e) întâlnite la determinarea dobânzii compuse:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Prima utilizare cunoscută a constantei, notată cu b, este în corespondența dintre Gottfried Leibniz și Christiaan Huygens în 1690 și 1691. Leonhard Euler a început să folosească litera e în notația lui în 1727, iar prima utilizare a lui e într-o publicație a fost în Mechanica lui Euler (1736). Deși în anii care au urmat unii cercetători foloseau litera c, e era mai des utilizat și în cele din urmă a devenit notația consacrată.

Nu se cunosc exact motivele care au stat în spatele alegerii literei e, dar ar putea fi că este prima literă a cuvântului exponențial. O altă posibilitate ar fi că Euler a folosit-o pentru că era prima vocală după a, pe care el o folosea deja pentru un alt număr, dar motivul pentru care el folosea vocale în notații este necunoscut. Nu este probabil ca Euler să fi ales e pentru că este inițiala numelui său, deoarece el era un om modest care avea grijă să acorde credit muncii altora.

Propoziție. Fie șirul definit prin:  ${\displaystyle x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\;(n\geq 1).}$  Atunci  ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$  este strict crescător și majorat, deci este convergent; limita sa se notează cu e și există relația:  ${\displaystyle 2<e<3.}$ 

Demonstrație. Se consideră șirul  ${\displaystyle y_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\;(n\geq 1).}$ 

Inegalitatea lui Bernoulli furnizează relația:

${\displaystyle (1+t)^{n}>1+nt,\;\forall t\in (-1,\infty )\setminus \{0\},\;\forall n\in \mathbb {N} .}$

Rezultă:

${\displaystyle {\frac {y_{n}}{y_{n+1}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+1}:\left(\left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {n+2}{n+1}}\right)=\left({\frac {(n+1)^{2}}{n^{2}+2n}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {n+1}{n+2}}=}$

${\displaystyle =\left(1+{\frac {1}{n^{2}+2n}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {n+1}{n+2}}>\left(1+{\frac {n+1}{n^{2}+2n}}\right)\cdot {\frac {n+1}{n+2}}={\frac {n(n+2)^{2}+1}{n(n+2)^{2}}}>1,}$

deci  ${\displaystyle y_{n}>y_{n+1}}$  și deci  ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1},}$  este strict descrescător.

Analog,  ${\displaystyle (\forall )n\geq 1}$  se obține:

${\displaystyle {\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}=\left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}:\left(\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {n}{n+1}}\right)=\left({\frac {n^{2}+2n}{(n+1)^{2}}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {n+1}{n}}=}$

${\displaystyle =\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {n+1}{n}}>\left(1-{\frac {n+1}{(n+1)^{2}}}\right)\cdot {\frac {n+1}{n}}=1,}$

deci  ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$  și deci  ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$  este strict crescător.

Evident,  ${\displaystyle (\forall )n\geq 1}$  există relația:

${\displaystyle 0<y_{n}-x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot {\frac {1}{n}}\leq {\frac {y_{n}}{n}}\leq {\frac {y_{1}}{n}}\to 0\;\;\;(n\to \infty ),}$

deci șirurile  ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$  și  ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$  sunt convergente și limitele acestora sunt egale.

Este clar că:

${\displaystyle 2=x_{1}<e<y_{4}=\left(1+{\frac {1}{4}}\right)^{5}={\frac {3125}{1024}}<3.}$

Jakob Bernoulli a descoperit această constantă studiind o problemă privind modul de acumulare pentru dobânda compusă.

Un exemplu simplu este un cont care pornește cu 1,00 (un leu) și plătește 100% dobândă pe an. Dacă dobânda este capitalizată o dată, la sfârșitul anului, valoarea contului este 2,00 (doi lei); dar dacă este capitalizată și adunată de două ori pe an, 1 este înmulțit cu 1,5 de două ori, dând 1,00×1,5² = 2,25. Capitalizând de patru ori, rezultă 1,00×1,25⁴ = 2,4414…, și capitalizând lunar se obține 1,00×(1,0833…)¹² = 2,613035….

Bernoulli a observat că acest șir se apropie de o valoare limită pentru intervale de capitalizare din ce în ce mai mici și mai apropiate. Capitalizarea săptămânală dă 2,692597…, iar capitalizarea zilnică dă 2,714567…, cu doar doi bani mai mult.

Folosind n ca număr de intervale, cu dobânda de ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ pe fiecare interval, limita pentru n mare este numărul ajuns să fie cunoscut ca e; cu capitalizare continuă, valoarea contului va atinge 2,7182818…. Mai general, un cont care pornește de la o unitate monetară și produce (1+r) unități monetare la dobândă simplă va da e^r unități monetare la dobândă capitalizată continuu.

Numărul e are aplicații și în teoria probabilităților, unde apare într-un mod fără o legătură evidentă cu creșterea exponențială. Presupunând că un jucător joacă la un joc mecanic cu probabilitatea de câștig de 1 din n, el jucând de n ori. Atunci, pentru n mare (cum ar fi un milion) probabilitatea ca jucătorul să nu câștige nimic este (aproximativ) ${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$.

Acesta este un exemplu de test Bernoulli. De fiecare dată când jucătorul joacă, are o șansă dintr-un milion să câștige. Jucând de un milion de ori, șansele de câștig sunt exprimate de distribuția binomială, strâns legată de binomul lui Newton. Probabilitatea de a câștiga de k ori dintr-un milion este;

${\displaystyle {\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}(1-10^{-6})^{10^{6}-k}.}$

În particular, probabilitatea de câștig de k=0 ori este

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.}$

Aceasta este foarte aproape de următoarea limită pentru 1/e:

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

O altă aplicație a lui e, descoperită și ea parțial de Jacob Bernoulli împreună cu Pierre Raymond de Montmort este problema pălăriilor.^[2] Aici n musafiri sunt invitați la o petrecere, și la intrare fiecare își lasă pălăria la garderobă unde fiecare este pusă în cutii etichetate. Dar la garderobă nu se cunosc numele musafirilor, deci sunt puse în cutii etichetate aleator. Problema lui de Montmort este: Care este probabilitatea ca niciuna din pălării să nu fie pusă în cutia potrivită? Soluția este:

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}.}$

Când numărul n de musafiri tinde la infinit, p_n tinde la 1/e. Mai mult, numărul de moduri în care pălăriile pot fi puse în cutii astfel încât niciuna din ele să nu fie în cutia corespunzătoare este exact n!/e, rotunjit la cel mai apropiat întreg.^[3]

Motivul principal pentru introducerea numărului e, în particular în analiza matematică, este pentru a simplifica efectuarea operațiilor de derivare și integrare nedefinită cu funcții exponențiale și logaritmi.^[4] O funcție exponențială generală y=a^x are derivata dată ca limita:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).}$

Limita din dreapta este independentă de variabila x, ea depinde doar de baza a. Când baza este e, această limită este egală cu unu, și astfel e este simbolic definit de ecuația:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

În consecință, funcția exponențială cu baza e este potrivită pentru analiza matematică deoarece alegerea lui e, în comparație cu alegerea oricărui alt număr, ca bază a funcției exponențiale simplifică mult calculele privind derivata.

Un alt motiv vine din considerarea logaritmului în bază a.^[5] Considerând definiția derivatei lui log_ax ca limita:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}={\frac {1}{x}}\left(\lim _{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log _{a}(1+u)\right).}$

Din nou, este o limită nedeterminată care depinde doar de baza a, iar dacă această bază este e, limita este unu. Deci simbolic,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

Logaritmul cu această bază particulară se numește logaritm natural (adesea notat cu "ln"), și acesta se comportă bine la derivare deoarece nu există o limită nedeterminată care să încarce calculele.

Există deci două moduri în care se poate alege numărul particular a=e. Unul este de a pune derivata funcției exponențiale a^x egală cu funcția a^x însăși. Celălalt mod este de a pune derivata logaritmului în bază a egal cu 1/x. În orice caz, se ajunge la o alegere convenabilă a bazei pentru efectuarea operațiilor din analiză. De fapt, cele două baze sunt una și aceeași, numărul e.

Sunt posibile și alte caracterizări ale lui e: una este ca limita unui șir, alta este ca suma unei serii, iar altele se bazează pe calculul integral. Deocamdată, se pot introduce următoarele două proprietăți echivalente:

1. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.}$

2. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}.}$

Următoarele definiții alternative sunt și ele demonstrate ca fiind echivalente:

3. Numărul e este limita

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

4. Numărul e este suma seriei inverselor factorialilor

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }$

unde n! este factorialul lui n.

5. Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$

(adică numărul e cu proprietatea că aria de sub hiperbola ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}}}$ de la 1 la e este egală cu 1).

6. Numărul e este limita

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$

Funcția exponențială f(x) = e^x este importantă în parte pentru că este singura funcție netrivială (până la înmulțirea cu o constantă) care este propria sa derivată, și deci și propria sa primitivă:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

și

${\displaystyle e^{x}=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt}$

${\displaystyle \qquad =1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt}$

Exponențiala e^x este de regulă definită prin următoarea serie Taylor:

${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots }$

Numărul x=e este locul unde se află maximul global al funcției

${\displaystyle f(x)=x^{1 \over x}.}$

Mai general, ${\displaystyle x=\!\ {\sqrt[{n}]{e}}}$ este maximul global pentru funcția

${\displaystyle \!\ f(x)=x^{1 \over {x^{n}}}}$

Expresia

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

converge doar dacă ${\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{1/e},}$ datorită unei teoreme a lui Leonhard Euler.

Numărul real e este irațional și, mai mult, transcendent (teorema Lindemann–Weierstrass). A fost primul număr demonstrat a fi transcendent fără a fi construit cu acest scop (spre deosebire de numărul Liouville). Demonstrația a fost dată de Charles Hermite în 1873. O conjectură susține că este și normal.

Apare în formula lui Euler, o importantă formulă legată de numere complexe:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}$

Cazul particular x = π este cunoscut ca identitatea lui Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

de unde rezultă valoarea logaritmului din numărul întreg negativ -1:

${\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}$

Mai mult, folosind proprietățile operației exponențierii și formula lui de Moivre rezultă:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

.

Numărul e poate fi reprezentat ca număr real în mai multe moduri: ca o serie, ca produs infinit, ca fracție continuă, sau ca limita unui șir. Principala reprezentare, mai ales în cursurile de analiză matematică introductivă este limita

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$

ca și seria

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

dată prin evaluarea seriei de puteri pentru e^x la x=1.

Există și alte reprezentări mai rare. De exemplu, e poate fi exprimat cu ajutorul fracției:

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {2} }+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {4} }+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Sau, în formă mai compactă:

${\displaystyle e=[[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,\ldots ,1,{\textbf {2n}},1,\ldots ]]\,}$

Care poate fi scrisă mai elegant permițând și zero:^[6]

${\displaystyle e=[[1,{\textbf {0}},1,1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,\ldots ]]\,}$

Numărul de zecimale ale lui e cunoscute a crescut dramatic în ultimele decenii. Aceasta se datorează atât creșterii performanțelor calculatoarelor, cât și dezvoltării de algoritmi.^[7][8]

Număr de zecimale ale lui e cunoscute

Data	Număr de zecimale	Calcul efectuat de
1748	18[9]	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. M. Boorman
1946	808	?
1949	2,010	John von Neumann (pe calculatorul ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks & John W. Wrench
1994	10,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997	18,199,978	Patrick Demichel
August 1997	20,000,000	Birger Seifert
Septembrie 1997	50,000,817	Patrick Demichel
Februarie 1999	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
Octombrie 1999	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
21 noiembrie 1999	1,250,000,000	Xavier Gourdon
10 iulie 2000	2,147,483,648	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 iulie 2000	3,221,225,472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2 august 2000	6,442,450,944	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 august 2000	12,884,901,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 august 2003	25,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18 septembrie 2003	50,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 aprilie 2007	100,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

${\displaystyle {\begin{aligned}e=2{,}&71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995\\&95749\,66967\,62772\,40766\,30353\,54759\,45713\,82178\,52516\,64274\\&27466\,39193\,20030\,59921\,81741\,35966\,29043\,57290\,03342\,95260\\&59563\,07381\,32328\,62794\,34907\,63233\,82988\,07531\,95251\,01901\ldots \end{aligned}}}$

În cultura internet contemporană, adesea persoane și organizații aduc omagiu numărului e.

De exemplu, în oferta publică inițială a companiei Google, din 2004, compania și-a anunțat intenția de a strânge investiții de 2.718.281.828 de dolari (în locul unei sume rotunde) ceea ce înseamnă e miliarde de dolari rotunjit la dolar. Tot Google a fost răspunzătoare pentru un misterios panou publicitar^[10] care a apărut în mijlocul Silicon Valley, și mai târziu în Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington, și Austin, Texas. Pe el scria {primul număr prim de 10 cifre compus din cifre consecutive ale lui e}.com. Rezolvarea acestei probleme și vizitarea respectivului site ducea la o problemă și mai dificil de rezolvat, care la rândul ei ducea la Google Labs unde vizitatorul era invitat să-și trimită un curriculum vitae.^[11] Primul număr prim de 10 cifre din e este 7427466391, care începe la a 99-a cifră a lui e.^[12] (Un șir aleator de cifre are o probabilitate de 98.4% să înceapă un număr prim de 10 cifre mai curând.)

Altădată, eminentul informatician Donald Knuth a făcut ca numerele de versiune ale programului său METAFONT să tindă spre e. versiunile erau 2, 2.7, 2.71, 2.718, și așa mai departe.

• en The constant e of growth and renewal Arhivat în 29 septembrie 2009, la Wayback Machine.