Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Em outras palavras, a união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos. A união é uma operação binária, na álgebra booleana seria o Operador OR. A união de dois conjuntos sempre resultará em todos os elementos de ambos os conjuntos, sendo apresentados apenas uma única vez. É representada pelo símbolo ∪ ∪ --> {\displaystyle \cup } .
Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por ∩ ∩ --> {\displaystyle \cap } a interseção de conjuntos, tem-se
que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma
que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.
Pela teoria básica de conjuntos, define-se A ∪ ∪ --> B {\displaystyle A\cup B\,} por:[1]
Por exemplo:
Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.
Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:
Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:
Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula Φ Φ --> = ( x ∈ ∈ --> A ∨ ∨ --> x ∈ ∈ --> B ) {\displaystyle \Phi =(x\in A\lor x\in B)\,} para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.
O axioma da extensão garante que a união é única.
Em outras palavras, provou-se que
Dado um conjunto S {\displaystyle S} e um conjunto de índices Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda } . Se para todo λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> {\displaystyle \lambda \in \Lambda } tem-se que A λ λ --> ⊂ ⊂ --> S {\displaystyle A_{\lambda }\subset S} , diz-se que ( A λ λ --> ) λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> := { X ∈ ∈ --> ℘ ℘ --> ( S ) ; ∃ ∃ --> λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> , X = A λ λ --> } {\displaystyle \left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }:=\{X\in \wp (S);\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,X=A_{\lambda }\}} é uma família de partes de S {\displaystyle S} , onde ℘ ℘ --> ( S ) {\displaystyle \wp (S)} é o conjunto das partes de S {\displaystyle S} .
A união dos elementos da família ( A λ λ --> ) λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> {\displaystyle \left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }} é o conjunto:
Se existir uma bijeção σ σ --> : N → → --> Λ Λ --> {\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \Lambda } , então pode-se denotar tal união por
Se Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda } for finito e λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , … … --> , λ λ --> n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}} forem seus elementos, então pode-se denotar tal união por
Uma união arbitrária é uma união onde não se sabe, a priori, a cardinalidade do conjunto de índices. Tais definições são importantes na topologia, em que por exemplo, a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado e a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}
Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}
Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A ∩ ∩ --> {\displaystyle \cap } B = {1,9}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}
Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.
Consequência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:
A união é também uma adesão:
Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente: A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).
Considerando dois conjuntos finitos, A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}. A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:
No mundo real podemos representar duas tabelas:
Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte:
SELECT hora, trem FROM chegada WHERE estacao LIKE "Bologna%" UNION SELECT hora, trem FROM partida WHERE estacao LIKE "Bologna%"
Que produzirá o seguinte resultado:
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