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No campo matemático da teoria dos conjuntos, o axioma de Martin, introduzido por Donald A. Martin e Robert M. Solovay (1970), é uma sentença que é independente dos axiomas da teoria dos conjuntos de ZFC. Esta é implícita pela hipótese contínua, mas é consistente com ZFC e a negação da hipótese contínua. Informalmente, ele afirma que todos os cardinais menores que a cardinalidade do contínuo, c, se comportam aproximadamente como $\aleph _{0}$ . A intuição por trás disso pode ser entendida através do estudo da prova do lema de Rasiowa–Sikorski. É um princípio que é usado para controlar alguns argumentos de forcing.

Sentença do Axioma de Martin

Para qualquer cardinal k, é definida uma sentença, denotada por MA(k):

Para qualquer ordem parcial P satisfazendo a condição de cadeia contável (também chamada de ccc) e qualquer família D de conjuntos densos em P tais que |D| ≤ k, há um filtro F em P tal que F ∩ d é não-vazio para todo d em D.

Como é um teorema de ZFC que MA(c) falha, o axioma de Martin é escrito como:

Axioma de Martin (MA): Para todo k < c, MA(k) é válida.

Neste caso (para aplicação da ccc), uma anti-corrente é um subconjunto A de P tal que quaisquer dois membros distintos de A são incompatíveis (dois elementos são ditos compatíveis se existe um elemento comum abaixo dos dois na ordem parcial). Isto difere, por exemplo, da noção de anti-corrente no contexto de árvores.

MA( $\aleph _{0}$ ) é simplesmente verdadeiro. Isto é conhecido como o lema de Rasiowa–Sikorski.

MA( $2^{\aleph _{0}}$ ) é falso: [0, 1] é um espaço compacto Hausdorff, o qual é separável e por isso obedece à ccc. Ele não possui pontos isolados, então os pontos nele não são densos, mas o é a união de $2^{\aleph _{0}}$ pontos.

Formas equivalentes de MA(k)

As seguintes sentenças são equivalentes ao Axioma de Martin:

Se X é um espaço topológico compacto Hausdorff que satisfaz a ccc, então X não é a união de k ou subconjuntos não-densos menores.

Se P é um poset não-vazio que satisfaz a ccc e Y é uma família de suconjuntos cofinais de P com |Y| ≤ k então há um conjunto A direcionado para cima tal que A encontra todo elemento de Y.

Seja A um não-zero da álgebra booleana que satisfaz a ccc e F uma família de subconjuntos de A com |F| ≤ k. Então há um homomorfismo booleano φ: A → Z/2Z tal que para todo X em F há um a em X com φ(a) = 1 ou há um limitante superior b para X com φ(b) = 0.

Consequências

O Axioma de Martin possui várias outras consequências combinatórias, analíticas e topológicas:

A união de k ou menos conjuntos nulos em uma medida de Borel σ-finita não-atômica em um espaço Polish é nula. Em particular, a união de k ou menos subconjuntos de R de medida Lebesgue 0 também tem medida Lebesgue 0.
Um espaço compacto Hausdorff X com |X| < 2^k é sequencialmente compacto, i.e., toda sequência tem uma subsequência convergente.
Nenhum ultrafiltro não-principal em N tem uma base de cardinalidade < k.
Equivalentemente para qualquer x em βN\N nós temos χ(x) ≥ k, onde χ é o caractere de x, e também χ(βN) ≥ k.
MA( $\aleph _{1}$ ) implica que o produto de espaços topológicos ccc é ccc (o que por sua vez implica que não há linhas Suslin.
MA + ¬CH implica que existe um grupo Whitehead que não é livre; Shelah usou isto para mostrar que o problema Whitehead é independente de ZFC.

Ver também

O Axioma de Martin possui generalizações chamadas de axioma do forçamento adequado e o máximo de Martin.
Sheldon W.Davis sugeriu no seu livro que o Axioma de Martin é motivado pelo teorema da categoria Baire.^[1]

Notas

Fremlin, David H. (1984). Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25091-9
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
Martin, D. A.; Solovay, R. M. (1970), «Internal Cohen extensions.», Ann. Math. Logic, 2 (2): 143–178, MR 0270904, doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4