Em teoria da medida, o teorema da convergência dominada de Lebesgue oferece condições suficientes sob as quais a convergência em quase qualquer lugar de uma sequência de funções implica convergência na norma L¹. Sua potência e sua utilidade são duas das primeiras vantagens teóricas da integração de Lebesgue sobre a integração de Riemann.

É amplamente usada em teoria das probabilidades, já que dá uma condição suficiente para a convergência de valores esperados de variáveis aleatórias.^[1]

Considere ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ uma sequência de funções mensuráveis de valores reais em um espaço de medida ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$. Suponha que a sequência converge pontualmente a uma função ${\displaystyle f}$ e é dominada por alguma função integrável ${\displaystyle g}$ no sentido em que:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

para todos os números ${\displaystyle n}$ no conjunto de índices da sequência e todos os pontos ${\displaystyle x\in S}$. Então, ${\displaystyle f}$ é integrável e

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|d\mu =0,}$

o que também implica

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}d\mu =\int _{S}fd\mu .}$

A afirmação "${\displaystyle g}$ é integrável" é entendida no sentido de Lebesgue, isto é,

${\displaystyle \int _{S}|g|d\mu <\infty .}$

A convergência da sequência e a dominação por ${\displaystyle g}$ podem ser relaxadas a ponto de manter apenas ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar, desde que o espaço de medida ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ seja completo ou ${\displaystyle f}$ seja escolhida como uma função mensurável que concorda com ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar com um limite pontual existente em ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar. Estas precauções são necessárias, porque, de outra forma, pode existir um subconjunto não-mensurável de um conjunto ${\displaystyle \mu }$-nulo ${\displaystyle N\in \Sigma }$, assim, ${\displaystyle f}$ pode não ser mensurável.

Se ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$, a condição de que haja uma função integrável dominante pode ser relaxada ao ponto da integrabilidade uniforme da sequência ${\displaystyle \{f_{n}\}}$.^[2]

O teorema da convergência dominada de Lebesgue é um caso especial do teorema de Fatou–Lebesgue. Abaixo, entretanto, está uma prova direta que usa o lema de Fatou como ferramenta essencial.

Já que ${\displaystyle f}$ é o limite pontual da sequência ${\displaystyle (f_{n})}$ das funções mensuráveis que são dominadas por ${\displaystyle g}$, é também mensurável e dominada por ${\displaystyle g}$, logo, é integrável. Além disto,

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

para todo ${\displaystyle n}$ e

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.}$

A segunda afirmação é trivialmente verdadeira (pela própria definição de ${\displaystyle f}$. Usando a linearidade e monotonicidade da integral de Lebesgue,

${\displaystyle \left|\int _{S}{fd\mu }-\int _{S}{f_{n}d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|d\mu }.}$

Pelo lema de Fatou reverso (é aqui que usamos o fato de que ${\displaystyle |f-f_{n}|}$ é limitado acima por uma função integrável),

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|d\mu =0,}$

o que implica que o limite existe e se esvai, isto é,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|d\mu =0.}$

Finalmente, já que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|d\mu =0.}$

temos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}d\mu =\int _{S}f\mu .}$

Se os pressupostos se mantêm apenas ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar, então, existe um conjunto ${\displaystyle \mu }$-nulo ${\displaystyle N\in \Sigma }$, tal que as funções ${\displaystyle f_{n}1_{n}}$ satisfazem os pressupostos em todo lugar em ${\displaystyle S}$. Então, ${\displaystyle f(x)}$ é o limite pontual de ${\displaystyle f_{n}(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in S\backslash N}$ e ${\displaystyle f(x)=0}$ para ${\displaystyle x\in N}$, logo, ${\displaystyle f}$ é mensurável. Os valores das integrais não são influenciados por este conjunto ${\displaystyle \mu }$-nulo ${\displaystyle N}$.

O teorema da convergência dominada se mantém mesmo se ${\displaystyle f_{n}}$ convergir a ${\displaystyle f}$ em medida (medida finita) e a função dominante for não negativa em quase todo lugar.^[2]

O pressuposto de que a sequência é dominada por alguma integrável ${\displaystyle g}$ não pode ser ignorado. Isto pode ser visto como se segue: defina ${\displaystyle f_{n}(x)=n}$ para ${\displaystyle x}$ no intervalo ${\displaystyle (0,1/n]}$ e ${\displaystyle f_{n}(x)=0}$ em outros casos. Qualquer ${\displaystyle g}$ que domina a sequência deve também dominar o supremo pontual ${\displaystyle h=\sup _{n}f_{n}}$. Observe que:

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{ndx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{conforme }}m\to \infty ,}$

pela divergência da série harmônica. Assim, a monotonicidade da integral de Lebesgue nos diz que não existe nenhuma função integrável que domine a sequência em ${\displaystyle [0,1]}$. Um cálculo direto mostra que a integração e o limite pontual não comutam para esta sequência:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx,}$

porque o limite pontual da sequência é a função zero. Note que a sequência ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ não é sequer uniformemente integrável, logo, o teorema da convergência de Vitali também não é aplicável.^[2]

Um corolário do teorema da convergência dominada é o teorema da convergência limitada, que afirma que, se ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ for uma sequência de funções mensuráveis de valores reais uniformemente limitadas que converge pontualmente em um espaço de medida limitado ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ (isto é, em que ${\displaystyle \mu (S)}$ é finito) a uma função ${\displaystyle f}$, então, o limite ${\displaystyle f}$ é uma função integrável e

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}d\mu }=\int _{S}{fd\mu }.}$

A convergência pontual e a limitação uniforme da sequência podem ser relaxadas a ponto de manter apenas ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar, desde que o espaço de medida${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ seja completo ou ${\displaystyle f}$ seja escolhida como uma função mensurável que concorda com ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar com o limite pontual existente ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar.^[3]

Já que a sequência é uniformemente limitada, há um número real ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$ para todo ${\displaystyle x\in S}$ e para todo ${\displaystyle n}$. Defina ${\displaystyle g(x)=M}$ para todo ${\displaystyle x\in S}$. Então, a sequência é dominada por ${\displaystyle g}$. Além disso, ${\displaystyle g}$ é integrável, já que é uma função constante sobre um conjunto de medida finita. Por isso, o resultado segue a partir do teorema da convergência dominada.

Se os pressupostos se mantêm apenas ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar, então, existe um conjunto ${\displaystyle \mu }$-nulo ${\displaystyle N\in \Sigma }$ tal que as funções ${\displaystyle f_{n}1_{n}}$ satisfazem os pressupostos em todo lugar em ${\displaystyle S}$.^[3]

Considere ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ um espaço de medida, ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ um número real e ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ uma sequência de funções ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mensuráveis ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$.

Assuma que a sequência ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ converge ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar a uma função ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mensurável e é dominada por um ${\displaystyle g\in L^{p}}$, isto é, para todo número natural ${\displaystyle n}$, temos ${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$ ${\displaystyle \mu }$-quase em todo lugar.

Então, todas as ${\displaystyle f_{n}}$ assim como ${\displaystyle f}$ estão em ${\displaystyle L^{p}}$ e a sequência ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ converge a ${\displaystyle f}$ no sentido de ${\displaystyle L^{p}}$, isto é:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$^[3]

O teorema da convergência dominada se aplica também a funções mensuráveis com valores em um espaço de Banach com a função dominante ainda sendo não negativa e integrável como acima. O pressuposto de convergência quase em todo lugar pode ser enfraquecido a ponto de exigir apenas convergência em medida.^[1]

• Convergência de variáveis aleatórias
• Teorema da convergência monótona

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