Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto ${\displaystyle (a-R,a+R)\,}$, onde ${\displaystyle a\,}$ é centro da série e ${\displaystyle R\,}$ é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta ${\displaystyle |x-a|<R\,}$. Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência ${\displaystyle |x-a|=R\,}$

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

${\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,}$, onde ${\displaystyle a_{n}\,}$ são os coeficientes da série:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,}$

Existe um forma alternativa que é: ${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\,}$, quando este limite existe.

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência ${\displaystyle \left(R=1\right)\,}$.

• ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\,}$
• ${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,}$
• ${\displaystyle h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}\,}$

A convergência na circunferência ${\displaystyle R=1\,}$, no entanto, é diferente para cada caso:

• ${\displaystyle f(z)\,}$ não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
• ${\displaystyle g(z)\,}$ não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo ${\displaystyle z\neq 1\,}$ de módulo unitário pelo teste de Abel.
• ${\displaystyle h(z)\,}$ converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,}$.

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

• ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n!z^{n}\,}$

Esta série não pode convegir para nenhum ${\displaystyle z\neq 0\,}$ pelo teste do termo geral, convergindo apenas para ${\displaystyle z=0\,}$

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

• ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,}$

Neste caso, a série converge para todo z.

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

${\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,}$

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola ${\displaystyle |Z-a|\leq r<R\,}$. Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto ${\displaystyle Z\,}$ tal que ${\displaystyle |Z-a|>R\,}$.

Para mostrar a primeira parte, escolha ${\displaystyle r<R\,}$. Escolha um ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ tal que ${\displaystyle R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1}<r^{-1}\,}$

Da definição de limite superior temos:

${\displaystyle |a_{n}|^{1/n}<R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1},~~n>N\,}$ para algum ${\displaystyle N\,}$

Agora podemos estimar os termos da série:

${\displaystyle |a_{n}(Z-a)^{n}|\leq \rho ^{-n}r^{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n},~~n>N\,}$

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica ${\displaystyle M_{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n}\,}$ que é convergente.

Agora escolha um ${\displaystyle Z\,}$ tal que ${\displaystyle |Z-a|>R\,}$. Escolha ${\displaystyle \varepsilon \,}$ tal que ${\displaystyle R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,}$, da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\,}$ tal que:

${\displaystyle |a_{n_{k}}|^{1/{n_{k}}}>R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,}$

Assim a o termo ${\displaystyle a_{n_{k}}|Z-a|^{n_{k}}\,}$ não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.

• Série de Taylor
• Teste M de Weierstrass