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Os polinômios associados de Legendre são uma família de polinômios ortogonais que são soluções da equação diferencial de Legendre (que aparece no estudo do modelo quântico do átomo de hidrogênio):

${\displaystyle (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+\left(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{(1-x^{2})}}\right)y(x)\,=\,0}$

Para ${\displaystyle l,\,m\in \mathbb {Z} }$, a solução da equação é da forma

${\displaystyle y(x)\,=\,P_{l}^{m}(x)}$

Onde ${\displaystyle P_{l}^{m}(x)}$ são os já mencionados polinômios associados de Legendre, dados pela fórmula de Olinde Rodrigues:

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)\,=\,{\frac {(-1)^{m}}{l!\,2^{l}}}(1-x^{2})^{{m}/{2}}{\frac {{\text{d}}^{l+m}}{{\text{d}}x^{l+m}}}(x^{2}-1)^{l}}$

para m positivo. Para m negativo,

${\displaystyle P_{l}^{-m}(x)\,=\,(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x)}$

Em geral, a resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas tem como solução esta equação, mas a equação de Laplace é escrita de forma diferente. Fazendo ${\displaystyle x=\cos \theta }$, teremos

${\displaystyle {\text{sen}}\theta {\frac {\text{d}}{{\text{d}}\theta }}\left({\text{sen}}\theta {\frac {\text{d}}{{\text{d}}\theta }}\Theta (\theta )\right)+\left[l(l+1){\text{sen}}^{2}\theta -m^{2}\right]\Theta (\theta )\,=\,0}$

Usando a função hipergeométrica, no plano complexo, ${\displaystyle _{2}F(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}}{(c)_{n}n!}}}$, onde ${\displaystyle (a)_{n},(b)_{n}\,\,e\,\,(c)_{n}}$ são os símbolos de Pochhammer^[1], em que ${\displaystyle (x)_{n}={\dfrac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$, então podemos encontrar outra forma para ${\displaystyle P_{l}^{m}(x)}$,

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)}$${\displaystyle ={\dfrac {(x^{2}-1)^{m/2}}{2^{l}l!}}{\Biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{m+l}{\dfrac {2^{2k-m-l}x^{2k-n}(x^{2}-1)^{l-k}\Gamma (m+l+1)\Gamma (l+1)}{\Gamma (1+2k-m-l)\Gamma (l-k+1)(m+l-k)!}}{\Biggl ]}}$

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)={\dfrac {(x^{2}-1)^{m/2}}{2^{l}}}{\Biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{m+l}{\dfrac {2^{2k-m-l}x^{2k-n}(x^{2}-1)^{l-k}(l+m)!}{(2k-m-l)!(l-k)!(m+l-k)!}}{\Biggl ]}}$

Tal expressão é muito útil para um programa de computador que calcula o valor de um polinômio de Legendre em ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Existe uma função com a seguinte propriedade: se ela é expandida em uma série de Taylor em torno de ${\displaystyle x_{0}=0}$, os coeficientes da expansão são os polinômios associados de Legendre:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(x,\,t)\,=\,(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\left({\frac {t}{2}}\right)^{m}{\frac {(2m)!}{m!}}(1-2xt+t^{2})^{-(m+1/2)}}$

Esse recurso é especialmente útil quando se quer fazer cálculos que envolvem a integração dos polinômios de Legendre. Em particular, para calcular a sua norma, como já mencionado, estes são polinômios ortogonais em relação a um produto interno definido por

${\displaystyle \langle \mathbf {u} |\mathbf {v} \rangle \,=\,\int _{-1}^{1}u(x)v(x)\,{\text{d}}x}$

Logo, para os polinômios de Legendre teremos

${\displaystyle \langle P_{n}^{m}|P_{n}^{k}\rangle \,=\,N_{km}\delta _{km}}$

Isto significa que os polinômios formam uma base para o espaço de Hilbert, e a expressão acima é chamada relação de ortogonalidade (lembre-se que consideramos o caso quando m e l são inteiros). O fato de eles formarem uma base num espaço de Hilbert é uma característica importante na mecânica quântica. O termo ${\displaystyle N_{km}}$ que aparece na expressão acima é a norma dos polinômios associados de Legendre, que pode ser calculada igualando-se o produto interno de um polinômio por ele mesmo.

Referências

• Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 ver seção 12.5.
• A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 ver capítulo 2.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. OCLC 5388084 ver capítulo 3
• F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
• Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

• Polinômios de Legendre